Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1849 / 2669
↖ ↑ ↗
← S 47.813154°
W 17.490235°		 ← 6 563.05 m → S 47.813154°
W 17.402344°		 →
↑
6 559.33 m
↓
↑
6 559.33 m
↓
S 47.872144°
W 17.490235°		 ← 6 555.60 m →
43 024 756 m²		 S 47.872144°
W 17.402344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4515380859375 y=0.6517333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4515380859375 × 212)
    floor (0.4515380859375 × 4096)
    floor (1849.5)     		tx = 1849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6517333984375 × 212)
    floor (0.6517333984375 × 4096)
    floor (2669.5)     		ty = 2669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1849 / 2669 ti = "12/1849/2669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1849/2669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1849 ÷ 212
    1849 ÷ 4096     		x = 0.451416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2669 ÷ 212
    2669 ÷ 4096     		y = 0.651611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451416015625 × 2 - 1) × π
    -0.09716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30526218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651611328125 × 2 - 1) × π
    -0.30322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.952602069249756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30526218} λ = -0.30526218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952602069249756))-π/2
    2×atan(0.385736004661062)-π/2
    2×0.368149677358761-π/2
    0.736299354717523-1.57079632675     		φ = -0.83449697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30526218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.490235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83449697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.813154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1849 KachelY 2669 -0.30526218 -0.83449697 -17.490235 -47.813154
    Oben rechts KachelX + 1 1850 KachelY 2669 -0.30372820 -0.83449697 -17.402344 -47.813154
    Unten links KachelX 1849 KachelY + 1 2670 -0.30526218 -0.83552653 -17.490235 -47.872144
    Unten rechts KachelX + 1 1850 KachelY + 1 2670 -0.30372820 -0.83552653 -17.402344 -47.872144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83449697--0.83552653) × R
    0.00102955999999998 × 6371000     		dl = 6559.3267599999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83449697--0.83552653) × R
    0.00102955999999998 × 6371000     		dr = 6559.3267599999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30526218--0.30372820) × cos(-0.83449697) × R
    0.00153397999999999 × 0.671550492111287 × 6371000     		do = 6563.05394719596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30526218--0.30372820) × cos(-0.83552653) × R
    0.00153397999999999 × 0.670787274788976 × 6371000     		du = 6555.59503454739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83449697)-sin(-0.83552653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671550492111287-0.670787274788976)×R²
    abs(-0.30372820--0.30526218)×0.000763217322310883×R²
    0.00153397999999999×0.000763217322310883×6371000²
    0.00153397999999999×0.000763217322310883×40589641000000     		ar = 43024756.4609985m²