Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1849 / 1208
↖ ↑ ↗
← N 59.175928°
W 17.490235°		 ← 5 007.71 m → N 59.175928°
W 17.402344°		 →
↑
5 011.05 m
↓
↑
5 011.05 m
↓
N 59.130863°
W 17.490235°		 ← 5 014.31 m →
25 110 425 m²		 N 59.130863°
W 17.402344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4515380859375 y=0.2950439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4515380859375 × 212)
    floor (0.4515380859375 × 4096)
    floor (1849.5)     		tx = 1849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2950439453125 × 212)
    floor (0.2950439453125 × 4096)
    floor (1208.5)     		ty = 1208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1849 / 1208 ti = "12/1849/1208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1849/1208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1849 ÷ 212
    1849 ÷ 4096     		x = 0.451416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1208 ÷ 212
    1208 ÷ 4096     		y = 0.294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451416015625 × 2 - 1) × π
    -0.09716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30526218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294921875 × 2 - 1) × π
    0.41015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28854386178711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30526218} λ = -0.30526218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28854386178711))-π/2
    2×atan(3.6275005659296)-π/2
    2×1.30180555632487-π/2
    2.60361111264973-1.57079632675     		φ = 1.03281479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30526218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.490235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03281479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.175928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1849 KachelY 1208 -0.30526218 1.03281479 -17.490235 59.175928
    Oben rechts KachelX + 1 1850 KachelY 1208 -0.30372820 1.03281479 -17.402344 59.175928
    Unten links KachelX 1849 KachelY + 1 1209 -0.30526218 1.03202825 -17.490235 59.130863
    Unten rechts KachelX + 1 1850 KachelY + 1 1209 -0.30372820 1.03202825 -17.402344 59.130863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03281479-1.03202825) × R
    0.000786540000000002 × 6371000     		dl = 5011.04634000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03281479-1.03202825) × R
    0.000786540000000002 × 6371000     		dr = 5011.04634000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30526218--0.30372820) × cos(1.03281479) × R
    0.00153397999999999 × 0.512403692070203 × 6371000     		do = 5007.71440614452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30526218--0.30372820) × cos(1.03202825) × R
    0.00153397999999999 × 0.513078970557303 × 6371000     		du = 5014.31389373671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03281479)-sin(1.03202825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512403692070203-0.513078970557303)×R²
    abs(-0.30372820--0.30526218)×0.000675278487099917×R²
    0.00153397999999999×0.000675278487099917×6371000²
    0.00153397999999999×0.000675278487099917×40589641000000     		ar = 25110425.4102855m²