Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18489 / 22585
↖ ↑ ↗
← S 56.127184°
E 23.126220°		 ← 680.88 m → S 56.127184°
E 23.137207°		 →
↑
680.87 m
↓
↑
680.87 m
↓
S 56.133307°
E 23.126220°		 ← 680.77 m →
463 554 m²		 S 56.133307°
E 23.137207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564254760742188 y=0.689254760742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564254760742188 × 215)
    floor (0.564254760742188 × 32768)
    floor (18489.5)     		tx = 18489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689254760742188 × 215)
    floor (0.689254760742188 × 32768)
    floor (22585.5)     		ty = 22585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18489 / 22585 ti = "15/18489/22585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18489/22585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18489 ÷ 215
    18489 ÷ 32768     		x = 0.564239501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22585 ÷ 215
    22585 ÷ 32768     		y = 0.689239501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564239501953125 × 2 - 1) × π
    0.12847900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40362869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689239501953125 × 2 - 1) × π
    -0.37847900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.18902685817587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40362869} λ = 0.40362869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18902685817587))-π/2
    2×atan(0.304517458598825)-π/2
    2×0.295596081708078-π/2
    0.591192163416156-1.57079632675     		φ = -0.97960416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40362869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.126220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97960416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.127184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18489 KachelY 22585 0.40362869 -0.97960416 23.126220 -56.127184
    Oben rechts KachelX + 1 18490 KachelY 22585 0.40382044 -0.97960416 23.137207 -56.127184
    Unten links KachelX 18489 KachelY + 1 22586 0.40362869 -0.97971103 23.126220 -56.133307
    Unten rechts KachelX + 1 18490 KachelY + 1 22586 0.40382044 -0.97971103 23.137207 -56.133307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97960416--0.97971103) × R
    0.000106870000000092 × 6371000     		dl = 680.868770000587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97960416--0.97971103) × R
    0.000106870000000092 × 6371000     		dr = 680.868770000587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40362869-0.40382044) × cos(-0.97960416) × R
    0.000191749999999991 × 0.55735124719703 × 6371000     		do = 680.882159612311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40362869-0.40382044) × cos(-0.97971103) × R
    0.000191749999999991 × 0.557262512331318 × 6371000     		du = 680.773757617513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97960416)-sin(-0.97971103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55735124719703-0.557262512331318)×R²
    abs(0.40382044-0.40362869)×8.87348657127029e-05×R²
    0.000191749999999991×8.87348657127029e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.87348657127029e-05×40589641000000     		ar = 463554.495205007m²