Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18489 / 22535
↖ ↑ ↗
← N 75.492342°
W129.218445°		 ← 76.51 m → N 75.492342°
W129.215698°		 →
↑
76.45 m
↓
↑
76.45 m
↓
N 75.491654°
W129.218445°		 ← 76.52 m →
5 850 m²		 N 75.491654°
W129.215698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141063690185547 y=0.171932220458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141063690185547 × 217)
    floor (0.141063690185547 × 131072)
    floor (18489.5)     		tx = 18489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171932220458984 × 217)
    floor (0.171932220458984 × 131072)
    floor (22535.5)     		ty = 22535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18489 / 22535 ti = "17/18489/22535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18489/22535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18489 ÷ 217
    18489 ÷ 131072     		x = 0.141059875488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22535 ÷ 217
    22535 ÷ 131072     		y = 0.171928405761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.141059875488281 × 2 - 1) × π
    -0.717880249023438 × 3.1415926535     		Λ = -2.25528732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171928405761719 × 2 - 1) × π
    0.656143188476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.06133462056203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25528732} λ = -2.25528732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06133462056203))-π/2
    2×atan(7.85644819373403)-π/2
    2×1.44419312551729-π/2
    2.88838625103459-1.57079632675     		φ = 1.31758992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25528732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.218445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31758992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.492342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18489 KachelY 22535 -2.25528732 1.31758992 -129.218445 75.492342
    Oben rechts KachelX + 1 18490 KachelY 22535 -2.25523938 1.31758992 -129.215698 75.492342
    Unten links KachelX 18489 KachelY + 1 22536 -2.25528732 1.31757792 -129.218445 75.491654
    Unten rechts KachelX + 1 18490 KachelY + 1 22536 -2.25523938 1.31757792 -129.215698 75.491654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31758992-1.31757792) × R
    1.2000000000123e-05 × 6371000     		dl = 76.4520000007838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31758992-1.31757792) × R
    1.2000000000123e-05 × 6371000     		dr = 76.4520000007838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25528732--2.25523938) × cos(1.31758992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250509409519286 × 6371000     		do = 76.5120217793408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25528732--2.25523938) × cos(1.31757792) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250521026871225 × 6371000     		du = 76.5155700176535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31758992)-sin(1.31757792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250509409519286-0.250521026871225)×R²
    abs(-2.25523938--2.25528732)×1.16173519386087e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16173519386087e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16173519386087e-05×40589641000000     		ar = 5849.63272412805m²