Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18488 / 15315
↖ ↑ ↗
← N 11.662996°
E 23.115235°		 ← 1 196.35 m → N 11.662996°
E 23.126220°		 →
↑
1 196.41 m
↓
↑
1 196.41 m
↓
N 11.652236°
E 23.115235°		 ← 1 196.40 m →
1 431 358 m²		 N 11.652236°
E 23.126220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564224243164062 y=0.467391967773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564224243164062 × 215)
    floor (0.564224243164062 × 32768)
    floor (18488.5)     		tx = 18488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467391967773438 × 215)
    floor (0.467391967773438 × 32768)
    floor (15315.5)     		ty = 15315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18488 / 15315 ti = "15/18488/15315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18488/15315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18488 ÷ 215
    18488 ÷ 32768     		x = 0.564208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15315 ÷ 215
    15315 ÷ 32768     		y = 0.467376708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564208984375 × 2 - 1) × π
    0.12841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40343695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467376708984375 × 2 - 1) × π
    0.06524658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.20497818277536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40343695} λ = 0.40343695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.20497818277536))-π/2
    2×atan(1.22749828406523)-π/2
    2×0.887177004798116-π/2
    1.77435400959623-1.57079632675     		φ = 0.20355768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40343695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.115235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20355768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.662996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18488 KachelY 15315 0.40343695 0.20355768 23.115235 11.662996
    Oben rechts KachelX + 1 18489 KachelY 15315 0.40362869 0.20355768 23.126220 11.662996
    Unten links KachelX 18488 KachelY + 1 15316 0.40343695 0.20336989 23.115235 11.652236
    Unten rechts KachelX + 1 18489 KachelY + 1 15316 0.40362869 0.20336989 23.126220 11.652236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20355768-0.20336989) × R
    0.000187789999999993 × 6371000     		dl = 1196.41008999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20355768-0.20336989) × R
    0.000187789999999993 × 6371000     		dr = 1196.41008999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40343695-0.40362869) × cos(0.20355768) × R
    0.000191739999999996 × 0.979353575040046 × 6371000     		do = 1196.35437228045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40343695-0.40362869) × cos(0.20336989) × R
    0.000191739999999996 × 0.979391520426746 × 6371000     		du = 1196.4007254367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20355768)-sin(0.20336989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979353575040046-0.979391520426746)×R²
    abs(0.40362869-0.40343695)×3.7945386699878e-05×R²
    0.000191739999999996×3.7945386699878e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.7945386699878e-05×40589641000000     		ar = 1431358.17511033m²