Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18487 / 34427
↖ ↑ ↗
← S  9.074976°
W 78.447876°		 ← 603.21 m → S  9.074976°
W 78.442383°		 →
↑
603.14 m
↓
↑
603.14 m
↓
S  9.080400°
W 78.447876°		 ← 603.20 m →
363 816 m²		 S  9.080400°
W 78.442383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282096862792969 y=0.525321960449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282096862792969 × 216)
    floor (0.282096862792969 × 65536)
    floor (18487.5)     		tx = 18487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525321960449219 × 216)
    floor (0.525321960449219 × 65536)
    floor (34427.5)     		ty = 34427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18487 / 34427 ti = "16/18487/34427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18487/34427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18487 ÷ 216
    18487 ÷ 65536     		x = 0.282089233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34427 ÷ 216
    34427 ÷ 65536     		y = 0.525314331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282089233398438 × 2 - 1) × π
    -0.435821533203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36917373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525314331054688 × 2 - 1) × π
    -0.050628662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.159054632939346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36917373} λ = -1.36917373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.159054632939346))-π/2
    2×atan(0.85294975854376)-π/2
    2×0.706204060297075-π/2
    1.41240812059415-1.57079632675     		φ = -0.15838821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36917373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.447876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15838821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.074976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18487 KachelY 34427 -1.36917373 -0.15838821 -78.447876 -9.074976
    Oben rechts KachelX + 1 18488 KachelY 34427 -1.36907785 -0.15838821 -78.442383 -9.074976
    Unten links KachelX 18487 KachelY + 1 34428 -1.36917373 -0.15848288 -78.447876 -9.080400
    Unten rechts KachelX + 1 18488 KachelY + 1 34428 -1.36907785 -0.15848288 -78.442383 -9.080400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15838821--0.15848288) × R
    9.46699999999912e-05 × 6371000     		dl = 603.142569999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15838821--0.15848288) × R
    9.46699999999912e-05 × 6371000     		dr = 603.142569999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36917373--1.36907785) × cos(-0.15838821) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.987482788414368 × 6371000     		do = 603.205322777048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36917373--1.36907785) × cos(-0.15848288) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.987467851993377 × 6371000     		du = 603.19619884218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15838821)-sin(-0.15848288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987482788414368-0.987467851993377)×R²
    abs(-1.36907785--1.36917373)×1.49364209900416e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.49364209900416e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.49364209900416e-05×40589641000000     		ar = 363816.057372348m²