Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18487 / 15119
↖ ↑ ↗
← N 13.763396°
E 23.104248°		 ← 1 186.56 m → N 13.763396°
E 23.115235°		 →
↑
1 186.54 m
↓
↑
1 186.54 m
↓
N 13.752725°
E 23.104248°		 ← 1 186.62 m →
1 407 929 m²		 N 13.752725°
E 23.115235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564193725585938 y=0.461410522460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564193725585938 × 215)
    floor (0.564193725585938 × 32768)
    floor (18487.5)     		tx = 18487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461410522460938 × 215)
    floor (0.461410522460938 × 32768)
    floor (15119.5)     		ty = 15119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18487 / 15119 ti = "15/18487/15119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18487/15119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18487 ÷ 215
    18487 ÷ 32768     		x = 0.564178466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15119 ÷ 215
    15119 ÷ 32768     		y = 0.461395263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564178466796875 × 2 - 1) × π
    0.12835693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40324520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461395263671875 × 2 - 1) × π
    0.07720947265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.242560712077484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40324520} λ = 0.40324520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.242560712077484))-π/2
    2×atan(1.27450862488096)-π/2
    2×0.905506449698851-π/2
    1.8110128993977-1.57079632675     		φ = 0.24021657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40324520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.104248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24021657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.763396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18487 KachelY 15119 0.40324520 0.24021657 23.104248 13.763396
    Oben rechts KachelX + 1 18488 KachelY 15119 0.40343695 0.24021657 23.115235 13.763396
    Unten links KachelX 18487 KachelY + 1 15120 0.40324520 0.24003033 23.104248 13.752725
    Unten rechts KachelX + 1 18488 KachelY + 1 15120 0.40343695 0.24003033 23.115235 13.752725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24021657-0.24003033) × R
    0.000186240000000004 × 6371000     		dl = 1186.53504000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24021657-0.24003033) × R
    0.000186240000000004 × 6371000     		dr = 1186.53504000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40324520-0.40343695) × cos(0.24021657) × R
    0.000191749999999991 × 0.971286472815506 × 6371000     		do = 1186.56167818542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40324520-0.40343695) × cos(0.24003033) × R
    0.000191749999999991 × 0.9713307648846 × 6371000     		du = 1186.61578711549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24021657)-sin(0.24003033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971286472815506-0.9713307648846)×R²
    abs(0.40343695-0.40324520)×4.42920690942872e-05×R²
    0.000191749999999991×4.42920690942872e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.42920690942872e-05×40589641000000     		ar = 1407929.11342853m²