Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18487 / 14151
↖ ↑ ↗
← N 23.815501°
E 23.104248°		 ← 1 117.62 m → N 23.815501°
E 23.115235°		 →
↑
1 117.60 m
↓
↑
1 117.60 m
↓
N 23.805450°
E 23.104248°		 ← 1 117.70 m →
1 249 098 m²		 N 23.805450°
E 23.115235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564193725585938 y=0.431869506835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564193725585938 × 215)
    floor (0.564193725585938 × 32768)
    floor (18487.5)     		tx = 18487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431869506835938 × 215)
    floor (0.431869506835938 × 32768)
    floor (14151.5)     		ty = 14151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18487 / 14151 ti = "15/18487/14151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18487/14151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18487 ÷ 215
    18487 ÷ 32768     		x = 0.564178466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14151 ÷ 215
    14151 ÷ 32768     		y = 0.431854248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564178466796875 × 2 - 1) × π
    0.12835693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40324520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431854248046875 × 2 - 1) × π
    0.13629150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.428172387406342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40324520} λ = 0.40324520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.428172387406342))-π/2
    2×atan(1.53445057812426)-π/2
    2×0.993227614802507-π/2
    1.98645522960501-1.57079632675     		φ = 0.41565890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40324520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.104248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41565890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.815501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18487 KachelY 14151 0.40324520 0.41565890 23.104248 23.815501
    Oben rechts KachelX + 1 18488 KachelY 14151 0.40343695 0.41565890 23.115235 23.815501
    Unten links KachelX 18487 KachelY + 1 14152 0.40324520 0.41548348 23.104248 23.805450
    Unten rechts KachelX + 1 18488 KachelY + 1 14152 0.40343695 0.41548348 23.115235 23.805450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41565890-0.41548348) × R
    0.000175419999999982 × 6371000     		dl = 1117.60081999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41565890-0.41548348) × R
    0.000175419999999982 × 6371000     		dr = 1117.60081999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40324520-0.40343695) × cos(0.41565890) × R
    0.000191749999999991 × 0.914850460020217 × 6371000     		do = 1117.6172298412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40324520-0.40343695) × cos(0.41548348) × R
    0.000191749999999991 × 0.914921279279134 × 6371000     		du = 1117.70374542755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41565890)-sin(0.41548348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914850460020217-0.914921279279134)×R²
    abs(0.40343695-0.40324520)×7.08192589168322e-05×R²
    0.000191749999999991×7.08192589168322e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.08192589168322e-05×40589641000000     		ar = 1249098.28066492m²