Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18486 / 15123
↖ ↑ ↗
← N 13.720709°
E 23.093262°		 ← 1 186.78 m → N 13.720709°
E 23.104248°		 →
↑
1 186.79 m
↓
↑
1 186.79 m
↓
N 13.710035°
E 23.093262°		 ← 1 186.83 m →
1 408 488 m²		 N 13.710035°
E 23.104248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564163208007812 y=0.461532592773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564163208007812 × 215)
    floor (0.564163208007812 × 32768)
    floor (18486.5)     		tx = 18486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461532592773438 × 215)
    floor (0.461532592773438 × 32768)
    floor (15123.5)     		ty = 15123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18486 / 15123 ti = "15/18486/15123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18486/15123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18486 ÷ 215
    18486 ÷ 32768     		x = 0.56414794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15123 ÷ 215
    15123 ÷ 32768     		y = 0.461517333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56414794921875 × 2 - 1) × π
    0.1282958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40305345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461517333984375 × 2 - 1) × π
    0.07696533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.241793721683563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40305345} λ = 0.40305345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.241793721683563))-π/2
    2×atan(1.2735314637932)-π/2
    2×0.905133932049435-π/2
    1.81026786409887-1.57079632675     		φ = 0.23947154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40305345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.093262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23947154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.720709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18486 KachelY 15123 0.40305345 0.23947154 23.093262 13.720709
    Oben rechts KachelX + 1 18487 KachelY 15123 0.40324520 0.23947154 23.104248 13.720709
    Unten links KachelX 18486 KachelY + 1 15124 0.40305345 0.23928526 23.093262 13.710035
    Unten rechts KachelX + 1 18487 KachelY + 1 15124 0.40324520 0.23928526 23.104248 13.710035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23947154-0.23928526) × R
    0.000186280000000011 × 6371000     		dl = 1186.78988000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23947154-0.23928526) × R
    0.000186280000000011 × 6371000     		dr = 1186.78988000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40305345-0.40324520) × cos(0.23947154) × R
    0.000191750000000046 × 0.971463455543383 × 6371000     		do = 1186.77788723271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40305345-0.40324520) × cos(0.23928526) × R
    0.000191750000000046 × 0.971507622307198 × 6371000     		du = 1186.83184308493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23947154)-sin(0.23928526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971463455543383-0.971507622307198)×R²
    abs(0.40324520-0.40305345)×4.41667638149124e-05×R²
    0.000191750000000046×4.41667638149124e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.41667638149124e-05×40589641000000     		ar = 1408488.00757809m²