Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18486 / 14165
↖ ↑ ↗
← N 23.674713°
E 23.093262°		 ← 1 118.83 m → N 23.674713°
E 23.104248°		 →
↑
1 118.88 m
↓
↑
1 118.88 m
↓
N 23.664651°
E 23.093262°		 ← 1 118.91 m →
1 251 875 m²		 N 23.664651°
E 23.104248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564163208007812 y=0.432296752929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564163208007812 × 215)
    floor (0.564163208007812 × 32768)
    floor (18486.5)     		tx = 18486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432296752929688 × 215)
    floor (0.432296752929688 × 32768)
    floor (14165.5)     		ty = 14165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18486 / 14165 ti = "15/18486/14165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18486/14165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18486 ÷ 215
    18486 ÷ 32768     		x = 0.56414794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14165 ÷ 215
    14165 ÷ 32768     		y = 0.432281494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56414794921875 × 2 - 1) × π
    0.1282958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40305345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432281494140625 × 2 - 1) × π
    0.13543701171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.425487921027618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40305345} λ = 0.40305345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.425487921027618))-π/2
    2×atan(1.53033692109484)-π/2
    2×0.991999007623374-π/2
    1.98399801524675-1.57079632675     		φ = 0.41320169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40305345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.093262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41320169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.674713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18486 KachelY 14165 0.40305345 0.41320169 23.093262 23.674713
    Oben rechts KachelX + 1 18487 KachelY 14165 0.40324520 0.41320169 23.104248 23.674713
    Unten links KachelX 18486 KachelY + 1 14166 0.40305345 0.41302607 23.093262 23.664651
    Unten rechts KachelX + 1 18487 KachelY + 1 14166 0.40324520 0.41302607 23.104248 23.664651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41320169-0.41302607) × R
    0.000175619999999987 × 6371000     		dl = 1118.87501999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41320169-0.41302607) × R
    0.000175619999999987 × 6371000     		dr = 1118.87501999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40305345-0.40324520) × cos(0.41320169) × R
    0.000191750000000046 × 0.915839900881982 × 6371000     		do = 1118.82596963381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40305345-0.40324520) × cos(0.41302607) × R
    0.000191750000000046 × 0.915910405848207 × 6371000     		du = 1118.91210126787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41320169)-sin(0.41302607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915839900881982-0.915910405848207)×R²
    abs(0.40324520-0.40305345)×7.0504966224183e-05×R²
    0.000191750000000046×7.0504966224183e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.0504966224183e-05×40589641000000     		ar = 1251874.61763506m²