Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18485 / 34429
↖ ↑ ↗
← S  9.085824°
W 78.458862°		 ← 603.12 m → S  9.085824°
W 78.453369°		 →
↑
603.14 m
↓
↑
603.14 m
↓
S  9.091249°
W 78.458862°		 ← 603.12 m →
363 767 m²		 S  9.091249°
W 78.453369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282066345214844 y=0.525352478027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282066345214844 × 216)
    floor (0.282066345214844 × 65536)
    floor (18485.5)     		tx = 18485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525352478027344 × 216)
    floor (0.525352478027344 × 65536)
    floor (34429.5)     		ty = 34429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18485 / 34429 ti = "16/18485/34429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18485/34429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18485 ÷ 216
    18485 ÷ 65536     		x = 0.282058715820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34429 ÷ 216
    34429 ÷ 65536     		y = 0.525344848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282058715820312 × 2 - 1) × π
    -0.435882568359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.36936547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525344848632812 × 2 - 1) × π
    -0.050689697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.159246380537827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36936547} λ = -1.36936547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.159246380537827))-π/2
    2×atan(0.852786223155195)-π/2
    2×0.706109388002603-π/2
    1.41221877600521-1.57079632675     		φ = -0.15857755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36936547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.458862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15857755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.085824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18485 KachelY 34429 -1.36936547 -0.15857755 -78.458862 -9.085824
    Oben rechts KachelX + 1 18486 KachelY 34429 -1.36926960 -0.15857755 -78.453369 -9.085824
    Unten links KachelX 18485 KachelY + 1 34430 -1.36936547 -0.15867222 -78.458862 -9.091249
    Unten rechts KachelX + 1 18486 KachelY + 1 34430 -1.36926960 -0.15867222 -78.453369 -9.091249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15857755--0.15867222) × R
    9.46699999999912e-05 × 6371000     		dl = 603.142569999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15857755--0.15867222) × R
    9.46699999999912e-05 × 6371000     		dr = 603.142569999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36936547--1.36926960) × cos(-0.15857755) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987452906722297 × 6371000     		do = 603.124158876916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36936547--1.36926960) × cos(-0.15867222) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987437952601259 × 6371000     		du = 603.115025082676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15857755)-sin(-0.15867222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987452906722297-0.987437952601259)×R²
    abs(-1.36926960--1.36936547)×1.49541210374693e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49541210374693e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49541210374693e-05×40589641000000     		ar = 363767.100995628m²