Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18485 / 15129
↖ ↑ ↗
← N 13.656663°
E 23.082275°		 ← 1 187.10 m → N 13.656663°
E 23.093262°		 →
↑
1 187.11 m
↓
↑
1 187.11 m
↓
N 13.645987°
E 23.082275°		 ← 1 187.15 m →
1 409 250 m²		 N 13.645987°
E 23.093262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564132690429688 y=0.461715698242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564132690429688 × 215)
    floor (0.564132690429688 × 32768)
    floor (18485.5)     		tx = 18485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461715698242188 × 215)
    floor (0.461715698242188 × 32768)
    floor (15129.5)     		ty = 15129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18485 / 15129 ti = "15/18485/15129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18485/15129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18485 ÷ 215
    18485 ÷ 32768     		x = 0.564117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15129 ÷ 215
    15129 ÷ 32768     		y = 0.461700439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564117431640625 × 2 - 1) × π
    0.12823486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40286170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461700439453125 × 2 - 1) × π
    0.07659912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.240643236092682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40286170} λ = 0.40286170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.240643236092682))-π/2
    2×atan(1.27206712670545)-π/2
    2×0.90457502855748-π/2
    1.80915005711496-1.57079632675     		φ = 0.23835373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40286170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.082275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23835373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.656663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18485 KachelY 15129 0.40286170 0.23835373 23.082275 13.656663
    Oben rechts KachelX + 1 18486 KachelY 15129 0.40305345 0.23835373 23.093262 13.656663
    Unten links KachelX 18485 KachelY + 1 15130 0.40286170 0.23816740 23.082275 13.645987
    Unten rechts KachelX + 1 18486 KachelY + 1 15130 0.40305345 0.23816740 23.093262 13.645987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23835373-0.23816740) × R
    0.000186330000000012 × 6371000     		dl = 1187.10843000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23835373-0.23816740) × R
    0.000186330000000012 × 6371000     		dr = 1187.10843000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40286170-0.40305345) × cos(0.23835373) × R
    0.000191749999999991 × 0.971727981115899 × 6371000     		do = 1187.10104205438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40286170-0.40305345) × cos(0.23816740) × R
    0.000191749999999991 × 0.971771957360066 × 6371000     		du = 1187.15476516032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23835373)-sin(0.23816740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971727981115899-0.971771957360066)×R²
    abs(0.40305345-0.40286170)×4.39762441675207e-05×R²
    0.000191749999999991×4.39762441675207e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.39762441675207e-05×40589641000000     		ar = 1409249.54593791m²