Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18485 / 15126
↖ ↑ ↗
← N 13.688688°
E 23.082275°		 ← 1 186.94 m → N 13.688688°
E 23.093262°		 →
↑
1 186.92 m
↓
↑
1 186.92 m
↓
N 13.678013°
E 23.082275°		 ← 1 186.99 m →
1 408 831 m²		 N 13.678013°
E 23.093262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564132690429688 y=0.461624145507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564132690429688 × 215)
    floor (0.564132690429688 × 32768)
    floor (18485.5)     		tx = 18485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461624145507812 × 215)
    floor (0.461624145507812 × 32768)
    floor (15126.5)     		ty = 15126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18485 / 15126 ti = "15/18485/15126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18485/15126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18485 ÷ 215
    18485 ÷ 32768     		x = 0.564117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15126 ÷ 215
    15126 ÷ 32768     		y = 0.46160888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564117431640625 × 2 - 1) × π
    0.12823486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40286170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46160888671875 × 2 - 1) × π
    0.0767822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.241218478888123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40286170} λ = 0.40286170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.241218478888123))-π/2
    2×atan(1.27279908466199)-π/2
    2×0.904854499324213-π/2
    1.80970899864843-1.57079632675     		φ = 0.23891267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40286170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.082275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23891267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.688688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18485 KachelY 15126 0.40286170 0.23891267 23.082275 13.688688
    Oben rechts KachelX + 1 18486 KachelY 15126 0.40305345 0.23891267 23.093262 13.688688
    Unten links KachelX 18485 KachelY + 1 15127 0.40286170 0.23872637 23.082275 13.678013
    Unten rechts KachelX + 1 18486 KachelY + 1 15127 0.40305345 0.23872637 23.093262 13.678013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23891267-0.23872637) × R
    0.0001863 × 6371000     		dl = 1186.9173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23891267-0.23872637) × R
    0.0001863 × 6371000     		dr = 1186.9173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40286170-0.40305345) × cos(0.23891267) × R
    0.000191749999999991 × 0.971595861798049 × 6371000     		do = 1186.93963991001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40286170-0.40305345) × cos(0.23872637) × R
    0.000191749999999991 × 0.971639932146509 × 6371000     		du = 1186.99347797745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23891267)-sin(0.23872637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971595861798049-0.971639932146509)×R²
    abs(0.40305345-0.40286170)×4.40703484603233e-05×R²
    0.000191749999999991×4.40703484603233e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.40703484603233e-05×40589641000000     		ar = 1408831.14740658m²