Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18485 / 15109
↖ ↑ ↗
← N 13.870080°
E 23.082275°		 ← 1 186.02 m → N 13.870080°
E 23.093262°		 →
↑
1 186.09 m
↓
↑
1 186.09 m
↓
N 13.859414°
E 23.082275°		 ← 1 186.07 m →
1 406 756 m²		 N 13.859414°
E 23.093262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564132690429688 y=0.461105346679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564132690429688 × 215)
    floor (0.564132690429688 × 32768)
    floor (18485.5)     		tx = 18485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461105346679688 × 215)
    floor (0.461105346679688 × 32768)
    floor (15109.5)     		ty = 15109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18485 / 15109 ti = "15/18485/15109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18485/15109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18485 ÷ 215
    18485 ÷ 32768     		x = 0.564117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15109 ÷ 215
    15109 ÷ 32768     		y = 0.461090087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564117431640625 × 2 - 1) × π
    0.12823486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40286170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461090087890625 × 2 - 1) × π
    0.07781982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.244478188062286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40286170} λ = 0.40286170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.244478188062286))-π/2
    2×atan(1.27695480906181)-π/2
    2×0.906437446030214-π/2
    1.81287489206043-1.57079632675     		φ = 0.24207857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40286170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.082275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24207857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.870080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18485 KachelY 15109 0.40286170 0.24207857 23.082275 13.870080
    Oben rechts KachelX + 1 18486 KachelY 15109 0.40305345 0.24207857 23.093262 13.870080
    Unten links KachelX 18485 KachelY + 1 15110 0.40286170 0.24189240 23.082275 13.859414
    Unten rechts KachelX + 1 18486 KachelY + 1 15110 0.40305345 0.24189240 23.093262 13.859414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24207857-0.24189240) × R
    0.000186169999999986 × 6371000     		dl = 1186.08906999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24207857-0.24189240) × R
    0.000186169999999986 × 6371000     		dr = 1186.08906999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40286170-0.40305345) × cos(0.24207857) × R
    0.000191749999999991 × 0.970841795350196 × 6371000     		do = 1186.01844274021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40286170-0.40305345) × cos(0.24189240) × R
    0.000191749999999991 × 0.970886407403807 × 6371000     		du = 1186.07294257592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24207857)-sin(0.24189240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970841795350196-0.970886407403807)×R²
    abs(0.40305345-0.40286170)×4.46120536116146e-05×R²
    0.000191749999999991×4.46120536116146e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.46120536116146e-05×40589641000000     		ar = 1406755.83664526m²