Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18484 / 15337
↖ ↑ ↗
← N 11.426187°
E 23.071289°		 ← 1 197.36 m → N 11.426187°
E 23.082275°		 →
↑
1 197.43 m
↓
↑
1 197.43 m
↓
N 11.415418°
E 23.071289°		 ← 1 197.41 m →
1 433 787 m²		 N 11.415418°
E 23.082275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564102172851562 y=0.468063354492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564102172851562 × 215)
    floor (0.564102172851562 × 32768)
    floor (18484.5)     		tx = 18484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468063354492188 × 215)
    floor (0.468063354492188 × 32768)
    floor (15337.5)     		ty = 15337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18484 / 15337 ti = "15/18484/15337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18484/15337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18484 ÷ 215
    18484 ÷ 32768     		x = 0.5640869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15337 ÷ 215
    15337 ÷ 32768     		y = 0.468048095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5640869140625 × 2 - 1) × π
    0.128173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40266996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468048095703125 × 2 - 1) × π
    0.06390380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.200759735608795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40266996} λ = 0.40266996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.200759735608795))-π/2
    2×atan(1.22233105391324)-π/2
    2×0.885110453991558-π/2
    1.77022090798312-1.57079632675     		φ = 0.19942458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40266996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.071289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19942458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.426187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18484 KachelY 15337 0.40266996 0.19942458 23.071289 11.426187
    Oben rechts KachelX + 1 18485 KachelY 15337 0.40286170 0.19942458 23.082275 11.426187
    Unten links KachelX 18484 KachelY + 1 15338 0.40266996 0.19923663 23.071289 11.415418
    Unten rechts KachelX + 1 18485 KachelY + 1 15338 0.40286170 0.19923663 23.082275 11.415418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19942458-0.19923663) × R
    0.000187949999999992 × 6371000     		dl = 1197.42944999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19942458-0.19923663) × R
    0.000187949999999992 × 6371000     		dr = 1197.42944999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40266996-0.40286170) × cos(0.19942458) × R
    0.000191739999999996 × 0.980180733887235 × 6371000     		do = 1197.36480929587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40266996-0.40286170) × cos(0.19923663) × R
    0.000191739999999996 × 0.980217950474636 × 6371000     		du = 1197.41027216872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19942458)-sin(0.19923663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980180733887235-0.980217950474636)×R²
    abs(0.40286170-0.40266996)×3.72165874007457e-05×R²
    0.000191739999999996×3.72165874007457e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.72165874007457e-05×40589641000000     		ar = 1433787.10855654m²