Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18484 / 14166
↖ ↑ ↗
← N 23.664651°
E 23.071289°		 ← 1 118.85 m → N 23.664651°
E 23.082275°		 →
↑
1 118.94 m
↓
↑
1 118.94 m
↓
N 23.654588°
E 23.071289°		 ← 1 118.94 m →
1 251 977 m²		 N 23.654588°
E 23.082275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564102172851562 y=0.432327270507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564102172851562 × 215)
    floor (0.564102172851562 × 32768)
    floor (18484.5)     		tx = 18484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432327270507812 × 215)
    floor (0.432327270507812 × 32768)
    floor (14166.5)     		ty = 14166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18484 / 14166 ti = "15/18484/14166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18484/14166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18484 ÷ 215
    18484 ÷ 32768     		x = 0.5640869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14166 ÷ 215
    14166 ÷ 32768     		y = 0.43231201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5640869140625 × 2 - 1) × π
    0.128173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40266996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43231201171875 × 2 - 1) × π
    0.1353759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.425296173429138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40266996} λ = 0.40266996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.425296173429138))-π/2
    2×atan(1.53004351079661)-π/2
    2×0.99191119919261-π/2
    1.98382239838522-1.57079632675     		φ = 0.41302607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40266996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.071289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41302607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.664651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18484 KachelY 14166 0.40266996 0.41302607 23.071289 23.664651
    Oben rechts KachelX + 1 18485 KachelY 14166 0.40286170 0.41302607 23.082275 23.664651
    Unten links KachelX 18484 KachelY + 1 14167 0.40266996 0.41285044 23.071289 23.654588
    Unten rechts KachelX + 1 18485 KachelY + 1 14167 0.40286170 0.41285044 23.082275 23.654588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41302607-0.41285044) × R
    0.000175630000000038 × 6371000     		dl = 1118.93873000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41302607-0.41285044) × R
    0.000175630000000038 × 6371000     		dr = 1118.93873000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40266996-0.40286170) × cos(0.41302607) × R
    0.000191739999999996 × 0.915910405848207 × 6371000     		do = 1118.85374861562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40266996-0.40286170) × cos(0.41285044) × R
    0.000191739999999996 × 0.915980886577789 × 6371000     		du = 1118.93984615092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41302607)-sin(0.41285044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915910405848207-0.915980886577789)×R²
    abs(0.40286170-0.40266996)×7.04807295826004e-05×R²
    0.000191739999999996×7.04807295826004e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.04807295826004e-05×40589641000000     		ar = 1251976.96468351m²