Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18483 / 51379
↖ ↑ ↗
← S 70.936387°
W 78.469849°		 ← 199.49 m → S 70.936387°
W 78.464356°		 →
↑
199.48 m
↓
↑
199.48 m
↓
S 70.938181°
W 78.469849°		 ← 199.48 m →
39 792 m²		 S 70.938181°
W 78.464356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282035827636719 y=0.783988952636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282035827636719 × 216)
    floor (0.282035827636719 × 65536)
    floor (18483.5)     		tx = 18483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783988952636719 × 216)
    floor (0.783988952636719 × 65536)
    floor (51379.5)     		ty = 51379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18483 / 51379 ti = "16/18483/51379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18483/51379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18483 ÷ 216
    18483 ÷ 65536     		x = 0.282028198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51379 ÷ 216
    51379 ÷ 65536     		y = 0.783981323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282028198242188 × 2 - 1) × π
    -0.435943603515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36955722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783981323242188 × 2 - 1) × π
    -0.567962646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78430727765773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36955722} λ = -1.36955722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78430727765773))-π/2
    2×atan(0.167913338042511)-π/2
    2×0.166361409205446-π/2
    0.332722818410891-1.57079632675     		φ = -1.23807351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36955722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.469849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23807351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.936387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18483 KachelY 51379 -1.36955722 -1.23807351 -78.469849 -70.936387
    Oben rechts KachelX + 1 18484 KachelY 51379 -1.36946135 -1.23807351 -78.464356 -70.936387
    Unten links KachelX 18483 KachelY + 1 51380 -1.36955722 -1.23810482 -78.469849 -70.938181
    Unten rechts KachelX + 1 18484 KachelY + 1 51380 -1.36946135 -1.23810482 -78.464356 -70.938181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23807351--1.23810482) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dl = 199.476010000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23807351--1.23810482) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dr = 199.476010000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36955722--1.36946135) × cos(-1.23807351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.326617724010445 × 6371000     		do = 199.494111290811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36955722--1.36946135) × cos(-1.23810482) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.326588130999465 × 6371000     		du = 199.476036241627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23807351)-sin(-1.23810482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326617724010445-0.326588130999465)×R²
    abs(-1.36946135--1.36955722)×2.95930109802112e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.95930109802112e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.95930109802112e-05×40589641000000     		ar = 39792.4865729825m²