Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18483 / 14161
↖ ↑ ↗
← N 23.714953°
E 23.060303°		 ← 1 118.48 m → N 23.714953°
E 23.071289°		 →
↑
1 118.49 m
↓
↑
1 118.49 m
↓
N 23.704895°
E 23.060303°		 ← 1 118.57 m →
1 251 061 m²		 N 23.704895°
E 23.071289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564071655273438 y=0.432174682617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564071655273438 × 215)
    floor (0.564071655273438 × 32768)
    floor (18483.5)     		tx = 18483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432174682617188 × 215)
    floor (0.432174682617188 × 32768)
    floor (14161.5)     		ty = 14161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18483 / 14161 ti = "15/18483/14161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18483/14161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18483 ÷ 215
    18483 ÷ 32768     		x = 0.564056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14161 ÷ 215
    14161 ÷ 32768     		y = 0.432159423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564056396484375 × 2 - 1) × π
    0.12811279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40247821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432159423828125 × 2 - 1) × π
    0.13568115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.426254911421539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40247821} λ = 0.40247821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.426254911421539))-π/2
    2×atan(1.5315111250568)-π/2
    2×0.992350173719049-π/2
    1.9847003474381-1.57079632675     		φ = 0.41390402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40247821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.060303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41390402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.714953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18483 KachelY 14161 0.40247821 0.41390402 23.060303 23.714953
    Oben rechts KachelX + 1 18484 KachelY 14161 0.40266996 0.41390402 23.071289 23.714953
    Unten links KachelX 18483 KachelY + 1 14162 0.40247821 0.41372846 23.060303 23.704895
    Unten rechts KachelX + 1 18484 KachelY + 1 14162 0.40266996 0.41372846 23.071289 23.704895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41390402-0.41372846) × R
    0.000175559999999964 × 6371000     		dl = 1118.49275999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41390402-0.41372846) × R
    0.000175559999999964 × 6371000     		dr = 1118.49275999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40247821-0.40266996) × cos(0.41390402) × R
    0.000191749999999991 × 0.915557658900003 × 6371000     		do = 1118.4811717503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40247821-0.40266996) × cos(0.41372846) × R
    0.000191749999999991 × 0.915628252694238 × 6371000     		du = 1118.56741190014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41390402)-sin(0.41372846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915557658900003-0.915628252694238)×R²
    abs(0.40266996-0.40247821)×7.05937942354629e-05×R²
    0.000191749999999991×7.05937942354629e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.05937942354629e-05×40589641000000     		ar = 1251061.32550357m²