Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18482 / 34433
↖ ↑ ↗
← S  9.107521°
W 78.475342°		 ← 603.15 m → S  9.107521°
W 78.469849°		 →
↑
603.14 m
↓
↑
603.14 m
↓
S  9.112945°
W 78.475342°		 ← 603.14 m →
363 783 m²		 S  9.112945°
W 78.469849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282020568847656 y=0.525413513183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282020568847656 × 216)
    floor (0.282020568847656 × 65536)
    floor (18482.5)     		tx = 18482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525413513183594 × 216)
    floor (0.525413513183594 × 65536)
    floor (34433.5)     		ty = 34433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18482 / 34433 ti = "16/18482/34433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18482/34433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18482 ÷ 216
    18482 ÷ 65536     		x = 0.282012939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34433 ÷ 216
    34433 ÷ 65536     		y = 0.525405883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282012939453125 × 2 - 1) × π
    -0.43597412109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.36965310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525405883789062 × 2 - 1) × π
    -0.050811767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.159629875734787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36965310} λ = -1.36965310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.159629875734787))-π/2
    2×atan(0.852459246435589)-π/2
    2×0.705920052016748-π/2
    1.4118401040335-1.57079632675     		φ = -0.15895622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36965310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.475342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15895622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.107521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18482 KachelY 34433 -1.36965310 -0.15895622 -78.475342 -9.107521
    Oben rechts KachelX + 1 18483 KachelY 34433 -1.36955722 -0.15895622 -78.469849 -9.107521
    Unten links KachelX 18482 KachelY + 1 34434 -1.36965310 -0.15905089 -78.475342 -9.112945
    Unten rechts KachelX + 1 18483 KachelY + 1 34434 -1.36955722 -0.15905089 -78.469849 -9.112945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15895622--0.15905089) × R
    9.46699999999912e-05 × 6371000     		dl = 603.142569999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15895622--0.15905089) × R
    9.46699999999912e-05 × 6371000     		dr = 603.142569999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36965310--1.36955722) × cos(-0.15895622) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.987393038722625 × 6371000     		do = 603.150499046414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36965310--1.36955722) × cos(-0.15905089) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.987378049204036 × 6371000     		du = 603.1413426768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15895622)-sin(-0.15905089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987393038722625-0.987378049204036)×R²
    abs(-1.36955722--1.36965310)×1.49895185884708e-05×R²
    9.58800000001592e-05×1.49895185884708e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×1.49895185884708e-05×40589641000000     		ar = 363782.981065076m²