Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18482 / 15338
↖ ↑ ↗
← N 11.415418°
E 23.049316°		 ← 1 197.47 m → N 11.415418°
E 23.060303°		 →
↑
1 197.49 m
↓
↑
1 197.49 m
↓
N 11.404649°
E 23.049316°		 ← 1 197.52 m →
1 433 993 m²		 N 11.404649°
E 23.060303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564041137695312 y=0.468093872070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564041137695312 × 215)
    floor (0.564041137695312 × 32768)
    floor (18482.5)     		tx = 18482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468093872070312 × 215)
    floor (0.468093872070312 × 32768)
    floor (15338.5)     		ty = 15338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18482 / 15338 ti = "15/18482/15338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18482/15338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18482 ÷ 215
    18482 ÷ 32768     		x = 0.56402587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15338 ÷ 215
    15338 ÷ 32768     		y = 0.46807861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56402587890625 × 2 - 1) × π
    0.1280517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40228646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46807861328125 × 2 - 1) × π
    0.0638427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.200567988010315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40228646} λ = 0.40228646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.200567988010315))-π/2
    2×atan(1.22209669733848)-π/2
    2×0.88501647855636-π/2
    1.77003295711272-1.57079632675     		φ = 0.19923663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40228646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.049316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19923663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.415418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18482 KachelY 15338 0.40228646 0.19923663 23.049316 11.415418
    Oben rechts KachelX + 1 18483 KachelY 15338 0.40247821 0.19923663 23.060303 11.415418
    Unten links KachelX 18482 KachelY + 1 15339 0.40228646 0.19904867 23.049316 11.404649
    Unten rechts KachelX + 1 18483 KachelY + 1 15339 0.40247821 0.19904867 23.060303 11.404649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19923663-0.19904867) × R
    0.000187959999999987 × 6371000     		dl = 1197.49315999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19923663-0.19904867) × R
    0.000187959999999987 × 6371000     		dr = 1197.49315999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40228646-0.40247821) × cos(0.19923663) × R
    0.000191749999999991 × 0.980217950474636 × 6371000     		do = 1197.47272185431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40228646-0.40247821) × cos(0.19904867) × R
    0.000191749999999991 × 0.980255134413008 × 6371000     		du = 1197.5181472129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19923663)-sin(0.19904867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980217950474636-0.980255134413008)×R²
    abs(0.40247821-0.40228646)×3.71839383720429e-05×R²
    0.000191749999999991×3.71839383720429e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.71839383720429e-05×40589641000000     		ar = 1433992.596207m²