Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18480 / 34392
↖ ↑ ↗
← S  8.885071°
W 78.486328°		 ← 603.46 m → S  8.885071°
W 78.480835°		 →
↑
603.52 m
↓
↑
603.52 m
↓
S  8.890499°
W 78.486328°		 ← 603.45 m →
364 199 m²		 S  8.890499°
W 78.480835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281990051269531 y=0.524787902832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281990051269531 × 216)
    floor (0.281990051269531 × 65536)
    floor (18480.5)     		tx = 18480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524787902832031 × 216)
    floor (0.524787902832031 × 65536)
    floor (34392.5)     		ty = 34392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18480 / 34392 ti = "16/18480/34392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18480/34392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18480 ÷ 216
    18480 ÷ 65536     		x = 0.281982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34392 ÷ 216
    34392 ÷ 65536     		y = 0.5247802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281982421875 × 2 - 1) × π
    -0.43603515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36984484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5247802734375 × 2 - 1) × π
    -0.049560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.155699049965942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36984484} λ = -1.36984484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155699049965942))-π/2
    2×atan(0.855816709686779)-π/2
    2×0.707861285998055-π/2
    1.41572257199611-1.57079632675     		φ = -0.15507375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36984484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.486328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15507375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.885071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18480 KachelY 34392 -1.36984484 -0.15507375 -78.486328 -8.885071
    Oben rechts KachelX + 1 18481 KachelY 34392 -1.36974897 -0.15507375 -78.480835 -8.885071
    Unten links KachelX 18480 KachelY + 1 34393 -1.36984484 -0.15516848 -78.486328 -8.890499
    Unten rechts KachelX + 1 18481 KachelY + 1 34393 -1.36974897 -0.15516848 -78.480835 -8.890499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15507375--0.15516848) × R
    9.47299999999873e-05 × 6371000     		dl = 603.524829999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15507375--0.15516848) × R
    9.47299999999873e-05 × 6371000     		dr = 603.524829999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36984484--1.36974897) × cos(-0.15507375) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988000142554999 × 6371000     		do = 603.458403830837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36984484--1.36974897) × cos(-0.15516848) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987985506792629 × 6371000     		du = 603.449464486176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15507375)-sin(-0.15516848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988000142554999-0.987985506792629)×R²
    abs(-1.36974897--1.36984484)×1.46357623707072e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46357623707072e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46357623707072e-05×40589641000000     		ar = 364199.433298136m²