Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1848 / 846
↖ ↑ ↗
← N 72.019729°
W 17.578125°		 ← 3 016.82 m → N 72.019729°
W 17.490235°		 →
↑
3 019.03 m
↓
↑
3 019.03 m
↓
N 71.992578°
W 17.578125°		 ← 3 021.22 m →
9 114 501 m²		 N 71.992578°
W 17.490235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4512939453125 y=0.2066650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4512939453125 × 212)
    floor (0.4512939453125 × 4096)
    floor (1848.5)     		tx = 1848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2066650390625 × 212)
    floor (0.2066650390625 × 4096)
    floor (846.5)     		ty = 846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1848 / 846 ti = "12/1848/846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1848/846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1848 ÷ 212
    1848 ÷ 4096     		x = 0.451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 846 ÷ 212
    846 ÷ 4096     		y = 0.20654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451171875 × 2 - 1) × π
    -0.09765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30679616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20654296875 × 2 - 1) × π
    0.5869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84384490698584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30679616} λ = -0.30679616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84384490698584))-π/2
    2×atan(6.32079446651781)-π/2
    2×1.4138888600628-π/2
    2.8277777201256-1.57079632675     		φ = 1.25698139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30679616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25698139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.019729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1848 KachelY 846 -0.30679616 1.25698139 -17.578125 72.019729
    Oben rechts KachelX + 1 1849 KachelY 846 -0.30526218 1.25698139 -17.490235 72.019729
    Unten links KachelX 1848 KachelY + 1 847 -0.30679616 1.25650752 -17.578125 71.992578
    Unten rechts KachelX + 1 1849 KachelY + 1 847 -0.30526218 1.25650752 -17.490235 71.992578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25698139-1.25650752) × R
    0.000473869999999987 × 6371000     		dl = 3019.02576999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25698139-1.25650752) × R
    0.000473869999999987 × 6371000     		dr = 3019.02576999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30679616--0.30526218) × cos(1.25698139) × R
    0.00153397999999999 × 0.30868950013794 × 6371000     		do = 3016.81834223498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30679616--0.30526218) × cos(1.25650752) × R
    0.00153397999999999 × 0.309140193008558 × 6371000     		du = 3021.22295761122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25698139)-sin(1.25650752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30868950013794-0.309140193008558)×R²
    abs(-0.30526218--0.30679616)×0.000450692870617553×R²
    0.00153397999999999×0.000450692870617553×6371000²
    0.00153397999999999×0.000450692870617553×40589641000000     		ar = 9114501.31283616m²