Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18479 / 51377
↖ ↑ ↗
← S 70.932798°
W 78.491821°		 ← 199.55 m → S 70.932798°
W 78.486328°		 →
↑
199.54 m
↓
↑
199.54 m
↓
S 70.934592°
W 78.491821°		 ← 199.53 m →
39 817 m²		 S 70.934592°
W 78.486328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281974792480469 y=0.783958435058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281974792480469 × 216)
    floor (0.281974792480469 × 65536)
    floor (18479.5)     		tx = 18479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783958435058594 × 216)
    floor (0.783958435058594 × 65536)
    floor (51377.5)     		ty = 51377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18479 / 51377 ti = "16/18479/51377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18479/51377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18479 ÷ 216
    18479 ÷ 65536     		x = 0.281967163085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51377 ÷ 216
    51377 ÷ 65536     		y = 0.783950805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281967163085938 × 2 - 1) × π
    -0.436065673828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36994072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783950805664062 × 2 - 1) × π
    -0.567901611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.78411553005925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36994072} λ = -1.36994072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78411553005925))-π/2
    2×atan(0.167945538108877)-π/2
    2×0.166392726125392-π/2
    0.332785452250784-1.57079632675     		φ = -1.23801087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36994072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.491821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23801087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.932798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18479 KachelY 51377 -1.36994072 -1.23801087 -78.491821 -70.932798
    Oben rechts KachelX + 1 18480 KachelY 51377 -1.36984484 -1.23801087 -78.486328 -70.932798
    Unten links KachelX 18479 KachelY + 1 51378 -1.36994072 -1.23804219 -78.491821 -70.934592
    Unten rechts KachelX + 1 18480 KachelY + 1 51378 -1.36984484 -1.23804219 -78.486328 -70.934592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23801087--1.23804219) × R
    3.13199999999458e-05 × 6371000     		dl = 199.539719999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23801087--1.23804219) × R
    3.13199999999458e-05 × 6371000     		dr = 199.539719999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36994072--1.36984484) × cos(-1.23801087) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.326676927974532 × 6371000     		do = 199.551084934965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36994072--1.36984484) × cos(-1.23804219) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.326647326152699 × 6371000     		du = 199.533002618288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23801087)-sin(-1.23804219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326676927974532-0.326647326152699)×R²
    abs(-1.36984484--1.36994072)×2.96018218323146e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.96018218323146e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.96018218323146e-05×40589641000000     		ar = 39816.5635467837m²