Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18479 / 34416
↖ ↑ ↗
← S  9.015302°
W 78.491821°		 ← 603.31 m → S  9.015302°
W 78.486328°		 →
↑
603.27 m
↓
↑
603.27 m
↓
S  9.020728°
W 78.491821°		 ← 603.30 m →
363 953 m²		 S  9.020728°
W 78.486328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281974792480469 y=0.525154113769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281974792480469 × 216)
    floor (0.281974792480469 × 65536)
    floor (18479.5)     		tx = 18479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525154113769531 × 216)
    floor (0.525154113769531 × 65536)
    floor (34416.5)     		ty = 34416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18479 / 34416 ti = "16/18479/34416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18479/34416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18479 ÷ 216
    18479 ÷ 65536     		x = 0.281967163085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34416 ÷ 216
    34416 ÷ 65536     		y = 0.525146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281967163085938 × 2 - 1) × π
    -0.436065673828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36994072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525146484375 × 2 - 1) × π
    -0.05029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.158000021147705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36994072} λ = -1.36994072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.158000021147705))-π/2
    2×atan(0.853849763911519)-π/2
    2×0.70672480900922-π/2
    1.41344961801844-1.57079632675     		φ = -0.15734671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36994072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.491821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15734671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.015302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18479 KachelY 34416 -1.36994072 -0.15734671 -78.491821 -9.015302
    Oben rechts KachelX + 1 18480 KachelY 34416 -1.36984484 -0.15734671 -78.486328 -9.015302
    Unten links KachelX 18479 KachelY + 1 34417 -1.36994072 -0.15744140 -78.491821 -9.020728
    Unten rechts KachelX + 1 18480 KachelY + 1 34417 -1.36984484 -0.15744140 -78.486328 -9.020728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15734671--0.15744140) × R
    9.46900000000084e-05 × 6371000     		dl = 603.269990000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15734671--0.15744140) × R
    9.46900000000084e-05 × 6371000     		dr = 603.269990000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36994072--1.36984484) × cos(-0.15734671) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.987646525271826 × 6371000     		do = 603.305341678757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36994072--1.36984484) × cos(-0.15744140) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.987631683086971 × 6371000     		du = 603.296275308171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15734671)-sin(-0.15744140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987646525271826-0.987631683086971)×R²
    abs(-1.36984484--1.36994072)×1.48421848552571e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.48421848552571e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.48421848552571e-05×40589641000000     		ar = 363953.272978737m²