Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18478 / 15339
↖ ↑ ↗
← N 11.404649°
E 23.005371°		 ← 1 197.52 m → N 11.404649°
E 23.016357°		 →
↑
1 197.49 m
↓
↑
1 197.49 m
↓
N 11.393879°
E 23.005371°		 ← 1 197.56 m →
1 434 047 m²		 N 11.393879°
E 23.016357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563919067382812 y=0.468124389648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563919067382812 × 215)
    floor (0.563919067382812 × 32768)
    floor (18478.5)     		tx = 18478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468124389648438 × 215)
    floor (0.468124389648438 × 32768)
    floor (15339.5)     		ty = 15339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18478 / 15339 ti = "15/18478/15339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18478/15339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18478 ÷ 215
    18478 ÷ 32768     		x = 0.56390380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15339 ÷ 215
    15339 ÷ 32768     		y = 0.468109130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56390380859375 × 2 - 1) × π
    0.1278076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40151947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468109130859375 × 2 - 1) × π
    0.06378173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.200376240411835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40151947} λ = 0.40151947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.200376240411835))-π/2
    2×atan(1.22186238569672)-π/2
    2×0.884922499554641-π/2
    1.76984499910928-1.57079632675     		φ = 0.19904867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40151947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.005371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19904867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.404649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18478 KachelY 15339 0.40151947 0.19904867 23.005371 11.404649
    Oben rechts KachelX + 1 18479 KachelY 15339 0.40171122 0.19904867 23.016357 11.404649
    Unten links KachelX 18478 KachelY + 1 15340 0.40151947 0.19886071 23.005371 11.393879
    Unten rechts KachelX + 1 18479 KachelY + 1 15340 0.40171122 0.19886071 23.016357 11.393879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19904867-0.19886071) × R
    0.000187960000000015 × 6371000     		dl = 1197.49316000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19904867-0.19886071) × R
    0.000187960000000015 × 6371000     		dr = 1197.49316000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40151947-0.40171122) × cos(0.19904867) × R
    0.000191749999999991 × 0.980255134413008 × 6371000     		do = 1197.5181472129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40151947-0.40171122) × cos(0.19886071) × R
    0.000191749999999991 × 0.980292283719984 × 6371000     		du = 1197.56353026441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19904867)-sin(0.19886071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980255134413008-0.980292283719984)×R²
    abs(0.40171122-0.40151947)×3.71493069761808e-05×R²
    0.000191749999999991×3.71493069761808e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.71493069761808e-05×40589641000000     		ar = 1434046.96743228m²