Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18477 / 34420
↖ ↑ ↗
← S  9.037003°
W 78.502807°		 ← 603.21 m → S  9.037003°
W 78.497314°		 →
↑
603.21 m
↓
↑
603.21 m
↓
S  9.042428°
W 78.502807°		 ← 603.20 m →
363 855 m²		 S  9.042428°
W 78.497314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281944274902344 y=0.525215148925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281944274902344 × 216)
    floor (0.281944274902344 × 65536)
    floor (18477.5)     		tx = 18477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525215148925781 × 216)
    floor (0.525215148925781 × 65536)
    floor (34420.5)     		ty = 34420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18477 / 34420 ti = "16/18477/34420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18477/34420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18477 ÷ 216
    18477 ÷ 65536     		x = 0.281936645507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34420 ÷ 216
    34420 ÷ 65536     		y = 0.52520751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281936645507812 × 2 - 1) × π
    -0.436126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37013246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52520751953125 × 2 - 1) × π
    -0.0504150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.158383516344666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37013246} λ = -1.37013246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.158383516344666))-π/2
    2×atan(0.853522379407337)-π/2
    2×0.706535435854403-π/2
    1.41307087170881-1.57079632675     		φ = -0.15772546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37013246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.502807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15772546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.037003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18477 KachelY 34420 -1.37013246 -0.15772546 -78.502807 -9.037003
    Oben rechts KachelX + 1 18478 KachelY 34420 -1.37003659 -0.15772546 -78.497314 -9.037003
    Unten links KachelX 18477 KachelY + 1 34421 -1.37013246 -0.15782014 -78.502807 -9.042428
    Unten rechts KachelX + 1 18478 KachelY + 1 34421 -1.37003659 -0.15782014 -78.497314 -9.042428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15772546--0.15782014) × R
    9.46799999999859e-05 × 6371000     		dl = 603.20627999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15772546--0.15782014) × R
    9.46799999999859e-05 × 6371000     		dr = 603.20627999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37013246--1.37003659) × cos(-0.15772546) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987587104971865 × 6371000     		do = 603.206125526508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37013246--1.37003659) × cos(-0.15782014) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987572228939205 × 6371000     		du = 603.197039427693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15772546)-sin(-0.15782014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987587104971865-0.987572228939205)×R²
    abs(-1.37003659--1.37013246)×1.48760326599273e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48760326599273e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48760326599273e-05×40589641000000     		ar = 363854.98292784m²