Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18476 / 22532
↖ ↑ ↗
← N 75.494406°
W129.254151°		 ← 76.50 m → N 75.494406°
W129.251404°		 →
↑
76.52 m
↓
↑
76.52 m
↓
N 75.493718°
W129.254151°		 ← 76.50 m →
5 854 m²		 N 75.493718°
W129.251404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140964508056641 y=0.171909332275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140964508056641 × 217)
    floor (0.140964508056641 × 131072)
    floor (18476.5)     		tx = 18476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171909332275391 × 217)
    floor (0.171909332275391 × 131072)
    floor (22532.5)     		ty = 22532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18476 / 22532 ti = "17/18476/22532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18476/22532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18476 ÷ 217
    18476 ÷ 131072     		x = 0.140960693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22532 ÷ 217
    22532 ÷ 131072     		y = 0.171905517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140960693359375 × 2 - 1) × π
    -0.71807861328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.25591050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171905517578125 × 2 - 1) × π
    0.65618896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.06147843126089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25591050} λ = -2.25591050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06147843126089))-π/2
    2×atan(7.85757811628486)-π/2
    2×1.44421113722975-π/2
    2.8884222744595-1.57079632675     		φ = 1.31762595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25591050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.254151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31762595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.494406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18476 KachelY 22532 -2.25591050 1.31762595 -129.254151 75.494406
    Oben rechts KachelX + 1 18477 KachelY 22532 -2.25586256 1.31762595 -129.251404 75.494406
    Unten links KachelX 18476 KachelY + 1 22533 -2.25591050 1.31761394 -129.254151 75.493718
    Unten rechts KachelX + 1 18477 KachelY + 1 22533 -2.25586256 1.31761394 -129.251404 75.493718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31762595-1.31761394) × R
    1.20100000000622e-05 × 6371000     		dl = 76.5157100003966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31762595-1.31761394) × R
    1.20100000000622e-05 × 6371000     		dr = 76.5157100003966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25591050--2.25586256) × cos(1.31762595) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250474528203341 × 6371000     		do = 76.5013681276063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25591050--2.25586256) × cos(1.31761394) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250486155344787 × 6371000     		du = 76.5049193558864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31762595)-sin(1.31761394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250474528203341-0.250486155344787)×R²
    abs(-2.25586256--2.25591050)×1.16271414455915e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16271414455915e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16271414455915e-05×40589641000000     		ar = 5853.69236073267m²