Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18476 / 19332
↖ ↑ ↗
← S 30.789036°
E 22.983399°		 ← 1 049.40 m → S 30.789036°
E 22.994385°		 →
↑
1 049.43 m
↓
↑
1 049.43 m
↓
S 30.798474°
E 22.983399°		 ← 1 049.30 m →
1 101 223 m²		 S 30.798474°
E 22.994385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563858032226562 y=0.589981079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563858032226562 × 215)
    floor (0.563858032226562 × 32768)
    floor (18476.5)     		tx = 18476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589981079101562 × 215)
    floor (0.589981079101562 × 32768)
    floor (19332.5)     		ty = 19332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18476 / 19332 ti = "15/18476/19332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18476/19332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18476 ÷ 215
    18476 ÷ 32768     		x = 0.5638427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19332 ÷ 215
    19332 ÷ 32768     		y = 0.5899658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5638427734375 × 2 - 1) × π
    0.127685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40113598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5899658203125 × 2 - 1) × π
    -0.179931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.565271920319702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40113598} λ = 0.40113598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.565271920319702))-π/2
    2×atan(0.568205619095286)-π/2
    2×0.516713130990865-π/2
    1.03342626198173-1.57079632675     		φ = -0.53737006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40113598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.983399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53737006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.789036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18476 KachelY 19332 0.40113598 -0.53737006 22.983399 -30.789036
    Oben rechts KachelX + 1 18477 KachelY 19332 0.40132772 -0.53737006 22.994385 -30.789036
    Unten links KachelX 18476 KachelY + 1 19333 0.40113598 -0.53753478 22.983399 -30.798474
    Unten rechts KachelX + 1 18477 KachelY + 1 19333 0.40132772 -0.53753478 22.994385 -30.798474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53737006--0.53753478) × R
    0.000164720000000007 × 6371000     		dl = 1049.43112000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53737006--0.53753478) × R
    0.000164720000000007 × 6371000     		dr = 1049.43112000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40113598-0.40132772) × cos(-0.53737006) × R
    0.000191739999999996 × 0.859057860409472 × 6371000     		do = 1049.40406972092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40113598-0.40132772) × cos(-0.53753478) × R
    0.000191739999999996 × 0.858973532130076 × 6371000     		du = 1049.30105635748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53737006)-sin(-0.53753478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859057860409472-0.858973532130076)×R²
    abs(0.40132772-0.40113598)×8.43282793963063e-05×R²
    0.000191739999999996×8.43282793963063e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.43282793963063e-05×40589641000000     		ar = 1101223.23799479m²