Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18475 / 34421
↖ ↑ ↗
← S  9.042428°
W 78.513794°		 ← 603.20 m → S  9.042428°
W 78.508301°		 →
↑
603.21 m
↓
↑
603.21 m
↓
S  9.047853°
W 78.513794°		 ← 603.19 m →
363 850 m²		 S  9.047853°
W 78.508301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281913757324219 y=0.525230407714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281913757324219 × 216)
    floor (0.281913757324219 × 65536)
    floor (18475.5)     		tx = 18475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525230407714844 × 216)
    floor (0.525230407714844 × 65536)
    floor (34421.5)     		ty = 34421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18475 / 34421 ti = "16/18475/34421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18475/34421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18475 ÷ 216
    18475 ÷ 65536     		x = 0.281906127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34421 ÷ 216
    34421 ÷ 65536     		y = 0.525222778320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281906127929688 × 2 - 1) × π
    -0.436187744140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.37032421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525222778320312 × 2 - 1) × π
    -0.050445556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.158479390143906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37032421} λ = -1.37032421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.158479390143906))-π/2
    2×atan(0.853440552896659)-π/2
    2×0.706488094346981-π/2
    1.41297618869396-1.57079632675     		φ = -0.15782014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37032421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.513794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15782014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.042428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18475 KachelY 34421 -1.37032421 -0.15782014 -78.513794 -9.042428
    Oben rechts KachelX + 1 18476 KachelY 34421 -1.37022834 -0.15782014 -78.508301 -9.042428
    Unten links KachelX 18475 KachelY + 1 34422 -1.37032421 -0.15791482 -78.513794 -9.047853
    Unten rechts KachelX + 1 18476 KachelY + 1 34422 -1.37022834 -0.15791482 -78.508301 -9.047853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15782014--0.15791482) × R
    9.46800000000136e-05 × 6371000     		dl = 603.206280000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15782014--0.15791482) × R
    9.46800000000136e-05 × 6371000     		dr = 603.206280000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37032421--1.37022834) × cos(-0.15782014) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987572228939205 × 6371000     		do = 603.197039427693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37032421--1.37022834) × cos(-0.15791482) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987557344053649 × 6371000     		du = 603.187947921638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15782014)-sin(-0.15791482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987572228939205-0.987557344053649)×R²
    abs(-1.37022834--1.37032421)×1.48848855561212e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48848855561212e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48848855561212e-05×40589641000000     		ar = 363849.500505334m²