Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18474 / 51372
↖ ↑ ↗
← S 70.923824°
W 78.519287°		 ← 199.64 m → S 70.923824°
W 78.513794°		 →
↑
199.60 m
↓
↑
199.60 m
↓
S 70.925619°
W 78.519287°		 ← 199.62 m →
39 847 m²		 S 70.925619°
W 78.513794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281898498535156 y=0.783882141113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281898498535156 × 216)
    floor (0.281898498535156 × 65536)
    floor (18474.5)     		tx = 18474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783882141113281 × 216)
    floor (0.783882141113281 × 65536)
    floor (51372.5)     		ty = 51372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18474 / 51372 ti = "16/18474/51372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18474/51372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18474 ÷ 216
    18474 ÷ 65536     		x = 0.281890869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51372 ÷ 216
    51372 ÷ 65536     		y = 0.78387451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281890869140625 × 2 - 1) × π
    -0.43621826171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.37042009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78387451171875 × 2 - 1) × π
    -0.5677490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78363616106305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37042009} λ = -1.37042009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78363616106305))-π/2
    2×atan(0.168026065292472)-π/2
    2×0.166471043259755-π/2
    0.332942086519511-1.57079632675     		φ = -1.23785424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37042009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.519287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23785424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.923824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18474 KachelY 51372 -1.37042009 -1.23785424 -78.519287 -70.923824
    Oben rechts KachelX + 1 18475 KachelY 51372 -1.37032421 -1.23785424 -78.513794 -70.923824
    Unten links KachelX 18474 KachelY + 1 51373 -1.37042009 -1.23788557 -78.519287 -70.925619
    Unten rechts KachelX + 1 18475 KachelY + 1 51373 -1.37032421 -1.23788557 -78.513794 -70.925619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23785424--1.23788557) × R
    3.13299999998851e-05 × 6371000     		dl = 199.603429999268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23785424--1.23788557) × R
    3.13299999998851e-05 × 6371000     		dr = 199.603429999268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37042009--1.37032421) × cos(-1.23785424) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.326824960628891 × 6371000     		do = 199.641510901431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37042009--1.37032421) × cos(-1.23788557) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.326795350958961 × 6371000     		du = 199.623423790732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23785424)-sin(-1.23788557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326824960628891-0.326795350958961)×R²
    abs(-1.37032421--1.37042009)×2.96096699297643e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.96096699297643e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.96096699297643e-05×40589641000000     		ar = 39847.3252245626m²