Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18472 / 51369
↖ ↑ ↗
← S 70.918437°
W 78.530273°		 ← 199.67 m → S 70.918437°
W 78.524780°		 →
↑
199.67 m
↓
↑
199.67 m
↓
S 70.920233°
W 78.530273°		 ← 199.66 m →
39 867 m²		 S 70.920233°
W 78.524780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281867980957031 y=0.783836364746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281867980957031 × 216)
    floor (0.281867980957031 × 65536)
    floor (18472.5)     		tx = 18472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783836364746094 × 216)
    floor (0.783836364746094 × 65536)
    floor (51369.5)     		ty = 51369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18472 / 51369 ti = "16/18472/51369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18472/51369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18472 ÷ 216
    18472 ÷ 65536     		x = 0.2818603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51369 ÷ 216
    51369 ÷ 65536     		y = 0.783828735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2818603515625 × 2 - 1) × π
    -0.436279296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.37061183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783828735351562 × 2 - 1) × π
    -0.567657470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.78334853966533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37061183} λ = -1.37061183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78334853966533))-π/2
    2×atan(0.168074400134959)-π/2
    2×0.166518050574272-π/2
    0.333036101148545-1.57079632675     		φ = -1.23776023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37061183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.530273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23776023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.918437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18472 KachelY 51369 -1.37061183 -1.23776023 -78.530273 -70.918437
    Oben rechts KachelX + 1 18473 KachelY 51369 -1.37051596 -1.23776023 -78.524780 -70.918437
    Unten links KachelX 18472 KachelY + 1 51370 -1.37061183 -1.23779157 -78.530273 -70.920233
    Unten rechts KachelX + 1 18473 KachelY + 1 51370 -1.37051596 -1.23779157 -78.524780 -70.920233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23776023--1.23779157) × R
    3.13400000000463e-05 × 6371000     		dl = 199.667140000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23776023--1.23779157) × R
    3.13400000000463e-05 × 6371000     		dr = 199.667140000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37061183--1.37051596) × cos(-1.23776023) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32691380661484 × 6371000     		do = 199.674954924485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37061183--1.37051596) × cos(-1.23779157) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.326884188456962 × 6371000     		du = 199.656864515883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23776023)-sin(-1.23779157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32691380661484-0.326884188456962)×R²
    abs(-1.37051596--1.37061183)×2.9618157878275e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9618157878275e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9618157878275e-05×40589641000000     		ar = 39866.7211528774m²