Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18472 / 15208
↖ ↑ ↗
← N 12.811802°
E 22.939453°		 ← 1 191.16 m → N 12.811802°
E 22.950439°		 →
↑
1 191.25 m
↓
↑
1 191.25 m
↓
N 12.801088°
E 22.939453°		 ← 1 191.21 m →
1 419 002 m²		 N 12.801088°
E 22.950439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563735961914062 y=0.464126586914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563735961914062 × 215)
    floor (0.563735961914062 × 32768)
    floor (18472.5)     		tx = 18472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464126586914062 × 215)
    floor (0.464126586914062 × 32768)
    floor (15208.5)     		ty = 15208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18472 / 15208 ti = "15/18472/15208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18472/15208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18472 ÷ 215
    18472 ÷ 32768     		x = 0.563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15208 ÷ 215
    15208 ÷ 32768     		y = 0.464111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563720703125 × 2 - 1) × π
    0.12744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40036899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464111328125 × 2 - 1) × π
    0.07177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.225495175812744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40036899} λ = 0.40036899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.225495175812744))-π/2
    2×atan(1.25294298967021)-π/2
    2×0.897202221437161-π/2
    1.79440444287432-1.57079632675     		φ = 0.22360812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40036899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.939453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22360812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.811802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18472 KachelY 15208 0.40036899 0.22360812 22.939453 12.811802
    Oben rechts KachelX + 1 18473 KachelY 15208 0.40056073 0.22360812 22.950439 12.811802
    Unten links KachelX 18472 KachelY + 1 15209 0.40036899 0.22342114 22.939453 12.801088
    Unten rechts KachelX + 1 18473 KachelY + 1 15209 0.40056073 0.22342114 22.950439 12.801088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22360812-0.22342114) × R
    0.000186980000000003 × 6371000     		dl = 1191.24958000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22360812-0.22342114) × R
    0.000186980000000003 × 6371000     		dr = 1191.24958000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40036899-0.40056073) × cos(0.22360812) × R
    0.000191739999999996 × 0.975103700003249 × 6371000     		do = 1191.16282888744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40036899-0.40056073) × cos(0.22342114) × R
    0.000191739999999996 × 0.975145145650923 × 6371000     		du = 1191.21345787688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22360812)-sin(0.22342114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975103700003249-0.975145145650923)×R²
    abs(0.40056073-0.40036899)×4.14456476736103e-05×R²
    0.000191739999999996×4.14456476736103e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.14456476736103e-05×40589641000000     		ar = 1419002.37963928m²