Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18472 / 14370
↖ ↑ ↗
← N 70.550521°
W 78.530273°		 ← 203.38 m → N 70.550521°
W 78.524780°		 →
↑
203.43 m
↓
↑
203.43 m
↓
N 70.548692°
W 78.530273°		 ← 203.40 m →
41 374 m²		 N 70.548692°
W 78.524780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281867980957031 y=0.219276428222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281867980957031 × 216)
    floor (0.281867980957031 × 65536)
    floor (18472.5)     		tx = 18472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219276428222656 × 216)
    floor (0.219276428222656 × 65536)
    floor (14370.5)     		ty = 14370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18472 / 14370 ti = "16/18472/14370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18472/14370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18472 ÷ 216
    18472 ÷ 65536     		x = 0.2818603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14370 ÷ 216
    14370 ÷ 65536     		y = 0.219268798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2818603515625 × 2 - 1) × π
    -0.436279296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.37061183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219268798828125 × 2 - 1) × π
    0.56146240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76388615841959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37061183} λ = -1.37061183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76388615841959))-π/2
    2×atan(5.83506939420667)-π/2
    2×1.40106760090547-π/2
    2.80213520181094-1.57079632675     		φ = 1.23133888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37061183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.530273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23133888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.550521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18472 KachelY 14370 -1.37061183 1.23133888 -78.530273 70.550521
    Oben rechts KachelX + 1 18473 KachelY 14370 -1.37051596 1.23133888 -78.524780 70.550521
    Unten links KachelX 18472 KachelY + 1 14371 -1.37061183 1.23130695 -78.530273 70.548692
    Unten rechts KachelX + 1 18473 KachelY + 1 14371 -1.37051596 1.23130695 -78.524780 70.548692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23133888-1.23130695) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dl = 203.426030000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23133888-1.23130695) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dr = 203.426030000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37061183--1.37051596) × cos(1.23133888) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332975548517207 × 6371000     		do = 203.377392743347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37061183--1.37051596) × cos(1.23130695) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333005656276742 × 6371000     		du = 203.395782194653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23133888)-sin(1.23130695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332975548517207-0.333005656276742)×R²
    abs(-1.37051596--1.37061183)×3.01077595343258e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01077595343258e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01077595343258e-05×40589641000000     		ar = 41374.1260477547m²