Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18471 / 34399
↖ ↑ ↗
← S  8.923060°
W 78.535767°		 ← 603.46 m → S  8.923060°
W 78.530273°		 →
↑
603.46 m
↓
↑
603.46 m
↓
S  8.928487°
W 78.535767°		 ← 603.45 m →
364 161 m²		 S  8.928487°
W 78.530273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281852722167969 y=0.524894714355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281852722167969 × 216)
    floor (0.281852722167969 × 65536)
    floor (18471.5)     		tx = 18471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524894714355469 × 216)
    floor (0.524894714355469 × 65536)
    floor (34399.5)     		ty = 34399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18471 / 34399 ti = "16/18471/34399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18471/34399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18471 ÷ 216
    18471 ÷ 65536     		x = 0.281845092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34399 ÷ 216
    34399 ÷ 65536     		y = 0.524887084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281845092773438 × 2 - 1) × π
    -0.436309814453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.37070771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524887084960938 × 2 - 1) × π
    -0.049774169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.156370166560623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37070771} λ = -1.37070771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156370166560623))-π/2
    2×atan(0.855242549576642)-π/2
    2×0.707529771559006-π/2
    1.41505954311801-1.57079632675     		φ = -0.15573678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37070771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.535767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15573678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.923060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18471 KachelY 34399 -1.37070771 -0.15573678 -78.535767 -8.923060
    Oben rechts KachelX + 1 18472 KachelY 34399 -1.37061183 -0.15573678 -78.530273 -8.923060
    Unten links KachelX 18471 KachelY + 1 34400 -1.37070771 -0.15583150 -78.535767 -8.928487
    Unten rechts KachelX + 1 18472 KachelY + 1 34400 -1.37061183 -0.15583150 -78.530273 -8.928487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15573678--0.15583150) × R
    9.47200000000203e-05 × 6371000     		dl = 603.46112000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15573678--0.15583150) × R
    9.47200000000203e-05 × 6371000     		dr = 603.46112000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37070771--1.37061183) × cos(-0.15573678) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.987897518446542 × 6371000     		do = 603.458661231002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37070771--1.37061183) × cos(-0.15583150) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.987882822184733 × 6371000     		du = 603.449683997726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15573678)-sin(-0.15583150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987897518446542-0.987882822184733)×R²
    abs(-1.37061183--1.37070771)×1.46962618085e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.46962618085e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.46962618085e-05×40589641000000     		ar = 364161.13114685m²