Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18471 / 34397
↖ ↑ ↗
← S  8.912207°
W 78.535767°		 ← 603.48 m → S  8.912207°
W 78.530273°		 →
↑
603.46 m
↓
↑
603.46 m
↓
S  8.917634°
W 78.535767°		 ← 603.47 m →
364 172 m²		 S  8.917634°
W 78.530273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281852722167969 y=0.524864196777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281852722167969 × 216)
    floor (0.281852722167969 × 65536)
    floor (18471.5)     		tx = 18471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524864196777344 × 216)
    floor (0.524864196777344 × 65536)
    floor (34397.5)     		ty = 34397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18471 / 34397 ti = "16/18471/34397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18471/34397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18471 ÷ 216
    18471 ÷ 65536     		x = 0.281845092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34397 ÷ 216
    34397 ÷ 65536     		y = 0.524856567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281845092773438 × 2 - 1) × π
    -0.436309814453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.37070771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524856567382812 × 2 - 1) × π
    -0.049713134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.156178418962143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37070771} λ = -1.37070771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156178418962143))-π/2
    2×atan(0.855406556005058)-π/2
    2×0.707624486455217-π/2
    1.41524897291043-1.57079632675     		φ = -0.15554735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37070771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.535767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15554735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.912207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18471 KachelY 34397 -1.37070771 -0.15554735 -78.535767 -8.912207
    Oben rechts KachelX + 1 18472 KachelY 34397 -1.37061183 -0.15554735 -78.530273 -8.912207
    Unten links KachelX 18471 KachelY + 1 34398 -1.37070771 -0.15564207 -78.535767 -8.917634
    Unten rechts KachelX + 1 18472 KachelY + 1 34398 -1.37061183 -0.15564207 -78.530273 -8.917634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15554735--0.15564207) × R
    9.47199999999926e-05 × 6371000     		dl = 603.461119999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15554735--0.15564207) × R
    9.47199999999926e-05 × 6371000     		dr = 603.461119999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37070771--1.37061183) × cos(-0.15554735) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.987926882830929 × 6371000     		do = 603.476598508664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37070771--1.37061183) × cos(-0.15564207) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.98791220429491 × 6371000     		du = 603.467632103212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15554735)-sin(-0.15564207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987926882830929-0.98791220429491)×R²
    abs(-1.37061183--1.37070771)×1.46785360197743e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.46785360197743e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.46785360197743e-05×40589641000000     		ar = 364171.958863558m²