Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18470 / 51371
↖ ↑ ↗
← S 70.922028°
W 78.541260°		 ← 199.64 m → S 70.922028°
W 78.535767°		 →
↑
199.67 m
↓
↑
199.67 m
↓
S 70.923824°
W 78.541260°		 ← 199.62 m →
39 859 m²		 S 70.923824°
W 78.535767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281837463378906 y=0.783866882324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281837463378906 × 216)
    floor (0.281837463378906 × 65536)
    floor (18470.5)     		tx = 18470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783866882324219 × 216)
    floor (0.783866882324219 × 65536)
    floor (51371.5)     		ty = 51371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18470 / 51371 ti = "16/18470/51371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18470/51371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18470 ÷ 216
    18470 ÷ 65536     		x = 0.281829833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51371 ÷ 216
    51371 ÷ 65536     		y = 0.783859252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281829833984375 × 2 - 1) × π
    -0.43634033203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.37080358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783859252929688 × 2 - 1) × π
    -0.567718505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78354028726381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37080358} λ = -1.37080358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78354028726381))-π/2
    2×atan(0.168042175361978)-π/2
    2×0.166486710944876-π/2
    0.332973421889752-1.57079632675     		φ = -1.23782290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37080358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.541260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23782290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.922028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18470 KachelY 51371 -1.37080358 -1.23782290 -78.541260 -70.922028
    Oben rechts KachelX + 1 18471 KachelY 51371 -1.37070771 -1.23782290 -78.535767 -70.922028
    Unten links KachelX 18470 KachelY + 1 51372 -1.37080358 -1.23785424 -78.541260 -70.923824
    Unten rechts KachelX + 1 18471 KachelY + 1 51372 -1.37070771 -1.23785424 -78.535767 -70.923824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23782290--1.23785424) × R
    3.13400000000463e-05 × 6371000     		dl = 199.667140000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23782290--1.23785424) × R
    3.13400000000463e-05 × 6371000     		dr = 199.667140000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37080358--1.37070771) × cos(-1.23782290) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.326854579428766 × 6371000     		do = 199.638779683579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37080358--1.37070771) × cos(-1.23785424) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.326824960628891 × 6371000     		du = 199.620688882854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23782290)-sin(-1.23785424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326854579428766-0.326824960628891)×R²
    abs(-1.37070771--1.37080358)×2.96187998752306e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.96187998752306e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.96187998752306e-05×40589641000000     		ar = 39859.4981067664m²