Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1847 / 1353
↖ ↑ ↗
← N 76.090236°
W 98.833008°		 ← 1 174.68 m → N 76.090236°
W 98.789063°		 →
↑
1 175.07 m
↓
↑
1 175.07 m
↓
N 76.079668°
W 98.833008°		 ← 1 175.56 m →
1 380 843 m²		 N 76.079668°
W 98.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22552490234375 y=0.16522216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22552490234375 × 213)
    floor (0.22552490234375 × 8192)
    floor (1847.5)     		tx = 1847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16522216796875 × 213)
    floor (0.16522216796875 × 8192)
    floor (1353.5)     		ty = 1353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1847 / 1353 ti = "13/1847/1353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1847/1353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1847 ÷ 213
    1847 ÷ 8192     		x = 0.2254638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1353 ÷ 213
    1353 ÷ 8192     		y = 0.1651611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2254638671875 × 2 - 1) × π
    -0.549072265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.72496140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1651611328125 × 2 - 1) × π
    0.669677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10385465052502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72496140} λ = -1.72496140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10385465052502))-π/2
    2×atan(8.19770838956127)-π/2
    2×1.44941073534414-π/2
    2.89882147068827-1.57079632675     		φ = 1.32802514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72496140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.833008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32802514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.090236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1847 KachelY 1353 -1.72496140 1.32802514 -98.833008 76.090236
    Oben rechts KachelX + 1 1848 KachelY 1353 -1.72419441 1.32802514 -98.789063 76.090236
    Unten links KachelX 1847 KachelY + 1 1354 -1.72496140 1.32784070 -98.833008 76.079668
    Unten rechts KachelX + 1 1848 KachelY + 1 1354 -1.72419441 1.32784070 -98.789063 76.079668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32802514-1.32784070) × R
    0.000184439999999952 × 6371000     		dl = 1175.0672399997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32802514-1.32784070) × R
    0.000184439999999952 × 6371000     		dr = 1175.0672399997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72496140--1.72419441) × cos(1.32802514) × R
    0.000766990000000023 × 0.240393469235958 × 6371000     		do = 1174.68107438136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72496140--1.72419441) × cos(1.32784070) × R
    0.000766990000000023 × 0.240572496540393 × 6371000     		du = 1175.55589010322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32802514)-sin(1.32784070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240393469235958-0.240572496540393)×R²
    abs(-1.72419441--1.72496140)×0.000179027304435669×R²
    0.000766990000000023×0.000179027304435669×6371000²
    0.000766990000000023×0.000179027304435669×40589641000000     		ar = 1380843.23551348m²