Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1847 / 1106
↖ ↑ ↗
← N 63.470145°
W 17.666016°		 ← 4 365.24 m → N 63.470145°
W 17.578125°		 →
↑
4 368.21 m
↓
↑
4 368.21 m
↓
N 63.430860°
W 17.666016°		 ← 4 371.24 m →
19 081 397 m²		 N 63.430860°
W 17.578125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4510498046875 y=0.2701416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4510498046875 × 212)
    floor (0.4510498046875 × 4096)
    floor (1847.5)     		tx = 1847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2701416015625 × 212)
    floor (0.2701416015625 × 4096)
    floor (1106.5)     		ty = 1106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1847 / 1106 ti = "12/1847/1106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1847/1106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1847 ÷ 212
    1847 ÷ 4096     		x = 0.450927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1106 ÷ 212
    1106 ÷ 4096     		y = 0.27001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450927734375 × 2 - 1) × π
    -0.09814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30833014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27001953125 × 2 - 1) × π
    0.4599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44500990214697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30833014} λ = -0.30833014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44500990214697))-π/2
    2×atan(4.24189414647175)-π/2
    2×1.3392796646607-π/2
    2.6785593293214-1.57079632675     		φ = 1.10776300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30833014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.666016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10776300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.470145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1847 KachelY 1106 -0.30833014 1.10776300 -17.666016 63.470145
    Oben rechts KachelX + 1 1848 KachelY 1106 -0.30679616 1.10776300 -17.578125 63.470145
    Unten links KachelX 1847 KachelY + 1 1107 -0.30833014 1.10707736 -17.666016 63.430860
    Unten rechts KachelX + 1 1848 KachelY + 1 1107 -0.30679616 1.10707736 -17.578125 63.430860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10776300-1.10707736) × R
    0.000685640000000154 × 6371000     		dl = 4368.21244000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10776300-1.10707736) × R
    0.000685640000000154 × 6371000     		dr = 4368.21244000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30833014--0.30679616) × cos(1.10776300) × R
    0.00153397999999999 × 0.446664080450225 × 6371000     		do = 4365.24206400806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30833014--0.30679616) × cos(1.10707736) × R
    0.00153397999999999 × 0.447277418712637 × 6371000     		du = 4371.23621061561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10776300)-sin(1.10707736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446664080450225-0.447277418712637)×R²
    abs(-0.30679616--0.30833014)×0.000613338262412111×R²
    0.00153397999999999×0.000613338262412111×6371000²
    0.00153397999999999×0.000613338262412111×40589641000000     		ar = 19081397.2880256m²