Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18468 / 15347
↖ ↑ ↗
← N 11.318480°
E 22.895508°		 ← 1 197.82 m → N 11.318480°
E 22.906494°		 →
↑
1 197.88 m
↓
↑
1 197.88 m
↓
N 11.307708°
E 22.895508°		 ← 1 197.86 m →
1 434 863 m²		 N 11.307708°
E 22.906494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563613891601562 y=0.468368530273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563613891601562 × 215)
    floor (0.563613891601562 × 32768)
    floor (18468.5)     		tx = 18468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468368530273438 × 215)
    floor (0.468368530273438 × 32768)
    floor (15347.5)     		ty = 15347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18468 / 15347 ti = "15/18468/15347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18468/15347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18468 ÷ 215
    18468 ÷ 32768     		x = 0.5635986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15347 ÷ 215
    15347 ÷ 32768     		y = 0.468353271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5635986328125 × 2 - 1) × π
    0.127197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39960200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468353271484375 × 2 - 1) × π
    0.06329345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.198842259623993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39960200} λ = 0.39960200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.198842259623993))-π/2
    2×atan(1.21998950911728)-π/2
    2×0.884170539528492-π/2
    1.76834107905698-1.57079632675     		φ = 0.19754475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39960200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.895508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19754475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.318480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18468 KachelY 15347 0.39960200 0.19754475 22.895508 11.318480
    Oben rechts KachelX + 1 18469 KachelY 15347 0.39979374 0.19754475 22.906494 11.318480
    Unten links KachelX 18468 KachelY + 1 15348 0.39960200 0.19735673 22.895508 11.307708
    Unten rechts KachelX + 1 18469 KachelY + 1 15348 0.39979374 0.19735673 22.906494 11.307708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19754475-0.19735673) × R
    0.000188019999999983 × 6371000     		dl = 1197.87541999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19754475-0.19735673) × R
    0.000188019999999983 × 6371000     		dr = 1197.87541999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39960200-0.39979374) × cos(0.19754475) × R
    0.000191739999999996 × 0.980551406182651 × 6371000     		do = 1197.8176135053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39960200-0.39979374) × cos(0.19735673) × R
    0.000191739999999996 × 0.980588290111766 × 6371000     		du = 1197.86267001093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19754475)-sin(0.19735673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980551406182651-0.980588290111766)×R²
    abs(0.39979374-0.39960200)×3.68839291151613e-05×R²
    0.000191739999999996×3.68839291151613e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.68839291151613e-05×40589641000000     		ar = 1434863.26712827m²