Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18467 / 51364
↖ ↑ ↗
← S 70.909456°
W 78.557739°		 ← 199.77 m → S 70.909456°
W 78.552246°		 →
↑
199.73 m
↓
↑
199.73 m
↓
S 70.911252°
W 78.557739°		 ← 199.75 m →
39 898 m²		 S 70.911252°
W 78.552246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281791687011719 y=0.783760070800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281791687011719 × 216)
    floor (0.281791687011719 × 65536)
    floor (18467.5)     		tx = 18467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783760070800781 × 216)
    floor (0.783760070800781 × 65536)
    floor (51364.5)     		ty = 51364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18467 / 51364 ti = "16/18467/51364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18467/51364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18467 ÷ 216
    18467 ÷ 65536     		x = 0.281784057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51364 ÷ 216
    51364 ÷ 65536     		y = 0.78375244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281784057617188 × 2 - 1) × π
    -0.436431884765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.37109120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.5675048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.78286917066913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37109120} λ = -1.37109120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78286917066913))-π/2
    2×atan(0.168154989105823)-π/2
    2×0.166596424498114-π/2
    0.333192848996228-1.57079632675     		φ = -1.23760348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37109120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.557739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23760348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.909456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18467 KachelY 51364 -1.37109120 -1.23760348 -78.557739 -70.909456
    Oben rechts KachelX + 1 18468 KachelY 51364 -1.37099533 -1.23760348 -78.552246 -70.909456
    Unten links KachelX 18467 KachelY + 1 51365 -1.37109120 -1.23763483 -78.557739 -70.911252
    Unten rechts KachelX + 1 18468 KachelY + 1 51365 -1.37099533 -1.23763483 -78.552246 -70.911252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23760348--1.23763483) × R
    3.13499999999856e-05 × 6371000     		dl = 199.730849999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23760348--1.23763483) × R
    3.13499999999856e-05 × 6371000     		dr = 199.730849999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37109120--1.37099533) × cos(-1.23760348) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327061939837396 × 6371000     		do = 199.765432885153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37109120--1.37099533) × cos(-1.23763483) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327032313835656 × 6371000     		du = 199.747337685616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23760348)-sin(-1.23763483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327061939837396-0.327032313835656)×R²
    abs(-1.37099533--1.37109120)×2.96260017398908e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.96260017398908e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.96260017398908e-05×40589641000000     		ar = 39897.5126293001m²