Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18466 / 34408
↖ ↑ ↗
← S  8.971897°
W 78.563233°		 ← 603.38 m → S  8.971897°
W 78.557739°		 →
↑
603.33 m
↓
↑
603.33 m
↓
S  8.977323°
W 78.563233°		 ← 603.37 m →
364 035 m²		 S  8.977323°
W 78.557739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281776428222656 y=0.525032043457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281776428222656 × 216)
    floor (0.281776428222656 × 65536)
    floor (18466.5)     		tx = 18466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525032043457031 × 216)
    floor (0.525032043457031 × 65536)
    floor (34408.5)     		ty = 34408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18466 / 34408 ti = "16/18466/34408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18466/34408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18466 ÷ 216
    18466 ÷ 65536     		x = 0.281768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34408 ÷ 216
    34408 ÷ 65536     		y = 0.5250244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281768798828125 × 2 - 1) × π
    -0.43646240234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37118708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5250244140625 × 2 - 1) × π
    -0.050048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.157233030753784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37118708} λ = -1.37118708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.157233030753784))-π/2
    2×atan(0.854504909691433)-π/2
    2×0.707103589433409-π/2
    1.41420717886682-1.57079632675     		φ = -0.15658915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37118708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.563233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15658915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.971897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18466 KachelY 34408 -1.37118708 -0.15658915 -78.563233 -8.971897
    Oben rechts KachelX + 1 18467 KachelY 34408 -1.37109120 -0.15658915 -78.557739 -8.971897
    Unten links KachelX 18466 KachelY + 1 34409 -1.37118708 -0.15668385 -78.563233 -8.977323
    Unten rechts KachelX + 1 18467 KachelY + 1 34409 -1.37109120 -0.15668385 -78.557739 -8.977323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15658915--0.15668385) × R
    9.47000000000031e-05 × 6371000     		dl = 603.33370000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15658915--0.15668385) × R
    9.47000000000031e-05 × 6371000     		dr = 603.33370000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37118708--1.37109120) × cos(-0.15658915) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.98776495018194 × 6371000     		do = 603.377681710368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37118708--1.37109120) × cos(-0.15668385) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.987750177287569 × 6371000     		du = 603.368657665978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15658915)-sin(-0.15668385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98776495018194-0.987750177287569)×R²
    abs(-1.37109120--1.37118708)×1.47728943705738e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.47728943705738e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.47728943705738e-05×40589641000000     		ar = 364035.367220732m²