Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18464 / 34412
↖ ↑ ↗
← S  8.993600°
W 78.574219°		 ← 603.28 m → S  8.993600°
W 78.568726°		 →
↑
603.27 m
↓
↑
603.27 m
↓
S  8.999026°
W 78.574219°		 ← 603.27 m →
363 937 m²		 S  8.999026°
W 78.568726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281745910644531 y=0.525093078613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281745910644531 × 216)
    floor (0.281745910644531 × 65536)
    floor (18464.5)     		tx = 18464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525093078613281 × 216)
    floor (0.525093078613281 × 65536)
    floor (34412.5)     		ty = 34412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18464 / 34412 ti = "16/18464/34412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18464/34412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18464 ÷ 216
    18464 ÷ 65536     		x = 0.28173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34412 ÷ 216
    34412 ÷ 65536     		y = 0.52508544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28173828125 × 2 - 1) × π
    -0.4365234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37137882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52508544921875 × 2 - 1) × π
    -0.0501708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.157616525950745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37137882} λ = -1.37137882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.157616525950745))-π/2
    2×atan(0.854177273990162)-π/2
    2×0.706914193544385-π/2
    1.41382838708877-1.57079632675     		φ = -0.15696794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37137882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.574219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15696794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.993600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18464 KachelY 34412 -1.37137882 -0.15696794 -78.574219 -8.993600
    Oben rechts KachelX + 1 18465 KachelY 34412 -1.37128295 -0.15696794 -78.568726 -8.993600
    Unten links KachelX 18464 KachelY + 1 34413 -1.37137882 -0.15706263 -78.574219 -8.999026
    Unten rechts KachelX + 1 18465 KachelY + 1 34413 -1.37128295 -0.15706263 -78.568726 -8.999026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15696794--0.15706263) × R
    9.46900000000084e-05 × 6371000     		dl = 603.269990000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15696794--0.15706263) × R
    9.46900000000084e-05 × 6371000     		dr = 603.269990000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37137882--1.37128295) × cos(-0.15696794) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.987705807018834 × 6371000     		do = 603.278627286468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37137882--1.37128295) × cos(-0.15706263) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.987691000257442 × 6371000     		du = 603.269583497696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15696794)-sin(-0.15706263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987705807018834-0.987691000257442)×R²
    abs(-1.37128295--1.37137882)×1.48067613926495e-05×R²
    9.58700000002199e-05×1.48067613926495e-05×6371000²
    9.58700000002199e-05×1.48067613926495e-05×40589641000000     		ar = 363937.163799104m²