Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18464 / 15201
↖ ↑ ↗
← N 12.886780°
E 22.851562°		 ← 1 190.87 m → N 12.886780°
E 22.862549°		 →
↑
1 190.87 m
↓
↑
1 190.87 m
↓
N 12.876070°
E 22.851562°		 ← 1 190.92 m →
1 418 198 m²		 N 12.876070°
E 22.862549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563491821289062 y=0.463912963867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563491821289062 × 215)
    floor (0.563491821289062 × 32768)
    floor (18464.5)     		tx = 18464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463912963867188 × 215)
    floor (0.463912963867188 × 32768)
    floor (15201.5)     		ty = 15201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18464 / 15201 ti = "15/18464/15201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18464/15201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18464 ÷ 215
    18464 ÷ 32768     		x = 0.5634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15201 ÷ 215
    15201 ÷ 32768     		y = 0.463897705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5634765625 × 2 - 1) × π
    0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463897705078125 × 2 - 1) × π
    0.07220458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.226837409002106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39883500} λ = 0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.226837409002106))-π/2
    2×atan(1.2546258604852)-π/2
    2×0.897856532146428-π/2
    1.79571306429286-1.57079632675     		φ = 0.22491674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22491674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.886780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18464 KachelY 15201 0.39883500 0.22491674 22.851562 12.886780
    Oben rechts KachelX + 1 18465 KachelY 15201 0.39902675 0.22491674 22.862549 12.886780
    Unten links KachelX 18464 KachelY + 1 15202 0.39883500 0.22472982 22.851562 12.876070
    Unten rechts KachelX + 1 18465 KachelY + 1 15202 0.39902675 0.22472982 22.862549 12.876070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22491674-0.22472982) × R
    0.000186920000000007 × 6371000     		dl = 1190.86732000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22491674-0.22472982) × R
    0.000186920000000007 × 6371000     		dr = 1190.86732000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39883500-0.39902675) × cos(0.22491674) × R
    0.000191749999999991 × 0.974812679525886 × 6371000     		do = 1190.86943070643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39883500-0.39902675) × cos(0.22472982) × R
    0.000191749999999991 × 0.974854350366495 × 6371000     		du = 1190.9203374409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22491674)-sin(0.22472982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974812679525886-0.974854350366495)×R²
    abs(0.39902675-0.39883500)×4.16708406093536e-05×R²
    0.000191749999999991×4.16708406093536e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.16708406093536e-05×40589641000000     		ar = 1418197.80312775m²