Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18462 / 34410
↖ ↑ ↗
← S  8.982749°
W 78.585205°		 ← 603.30 m → S  8.982749°
W 78.579712°		 →
↑
603.27 m
↓
↑
603.27 m
↓
S  8.988175°
W 78.585205°		 ← 603.29 m →
363 948 m²		 S  8.988175°
W 78.579712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281715393066406 y=0.525062561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281715393066406 × 216)
    floor (0.281715393066406 × 65536)
    floor (18462.5)     		tx = 18462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525062561035156 × 216)
    floor (0.525062561035156 × 65536)
    floor (34410.5)     		ty = 34410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18462 / 34410 ti = "16/18462/34410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18462/34410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18462 ÷ 216
    18462 ÷ 65536     		x = 0.281707763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34410 ÷ 216
    34410 ÷ 65536     		y = 0.525054931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281707763671875 × 2 - 1) × π
    -0.43658447265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.37157057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525054931640625 × 2 - 1) × π
    -0.05010986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.157424778352264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37157057} λ = -1.37157057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.157424778352264))-π/2
    2×atan(0.854341076134958)-π/2
    2×0.70700889007132-π/2
    1.41401778014264-1.57079632675     		φ = -0.15677855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37157057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.585205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15677855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.982749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18462 KachelY 34410 -1.37157057 -0.15677855 -78.585205 -8.982749
    Oben rechts KachelX + 1 18463 KachelY 34410 -1.37147470 -0.15677855 -78.579712 -8.982749
    Unten links KachelX 18462 KachelY + 1 34411 -1.37157057 -0.15687324 -78.585205 -8.988175
    Unten rechts KachelX + 1 18463 KachelY + 1 34411 -1.37147470 -0.15687324 -78.579712 -8.988175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15677855--0.15687324) × R
    9.46900000000084e-05 × 6371000     		dl = 603.269990000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15677855--0.15687324) × R
    9.46900000000084e-05 × 6371000     		dr = 603.269990000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37157057--1.37147470) × cos(-0.15677855) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987735395534966 × 6371000     		do = 603.296699588857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37157057--1.37147470) × cos(-0.15687324) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987720606486569 × 6371000     		du = 603.287666618966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15677855)-sin(-0.15687324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987735395534966-0.987720606486569)×R²
    abs(-1.37147470--1.37157057)×1.47890483968016e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.47890483968016e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.47890483968016e-05×40589641000000     		ar = 363948.069540082m²