Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18461 / 22516
↖ ↑ ↗
← N 75.505409°
W129.295349°		 ← 76.44 m → N 75.505409°
W129.292602°		 →
↑
76.45 m
↓
↑
76.45 m
↓
N 75.504721°
W129.295349°		 ← 76.45 m →
5 844 m²		 N 75.504721°
W129.292602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140850067138672 y=0.171787261962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140850067138672 × 217)
    floor (0.140850067138672 × 131072)
    floor (18461.5)     		tx = 18461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171787261962891 × 217)
    floor (0.171787261962891 × 131072)
    floor (22516.5)     		ty = 22516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18461 / 22516 ti = "17/18461/22516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18461/22516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18461 ÷ 217
    18461 ÷ 131072     		x = 0.140846252441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22516 ÷ 217
    22516 ÷ 131072     		y = 0.171783447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140846252441406 × 2 - 1) × π
    -0.718307495117188 × 3.1415926535     		Λ = -2.25662955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171783447265625 × 2 - 1) × π
    0.65643310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.06224542165482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25662955} λ = -2.25662955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06224542165482))-π/2
    2×atan(7.86360711501603)-π/2
    2×1.44430715735469-π/2
    2.88861431470938-1.57079632675     		φ = 1.31781799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25662955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.295349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31781799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.505409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18461 KachelY 22516 -2.25662955 1.31781799 -129.295349 75.505409
    Oben rechts KachelX + 1 18462 KachelY 22516 -2.25658161 1.31781799 -129.292602 75.505409
    Unten links KachelX 18461 KachelY + 1 22517 -2.25662955 1.31780599 -129.295349 75.504721
    Unten rechts KachelX + 1 18462 KachelY + 1 22517 -2.25658161 1.31780599 -129.292602 75.504721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31781799-1.31780599) × R
    1.1999999999901e-05 × 6371000     		dl = 76.4519999993691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31781799-1.31780599) × R
    1.1999999999901e-05 × 6371000     		dr = 76.4519999993691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25662955--2.25658161) × cos(1.31781799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250288605208436 × 6371000     		do = 76.4445824593041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25662955--2.25658161) × cos(1.31780599) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250300223245692 × 6371000     		du = 76.4481309069305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31781799)-sin(1.31780599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250288605208436-0.250300223245692)×R²
    abs(-2.25658161--2.25662955)×1.16180372563557e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16180372563557e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16180372563557e-05×40589641000000     		ar = 5844.47686124525m²