Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18461 / 15327
↖ ↑ ↗
← N 11.533852°
E 22.818603°		 ← 1 196.97 m → N 11.533852°
E 22.829590°		 →
↑
1 196.98 m
↓
↑
1 196.98 m
↓
N 11.523088°
E 22.818603°		 ← 1 197.02 m →
1 432 781 m²		 N 11.523088°
E 22.829590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563400268554688 y=0.467758178710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563400268554688 × 215)
    floor (0.563400268554688 × 32768)
    floor (18461.5)     		tx = 18461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467758178710938 × 215)
    floor (0.467758178710938 × 32768)
    floor (15327.5)     		ty = 15327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18461 / 15327 ti = "15/18461/15327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18461/15327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18461 ÷ 215
    18461 ÷ 32768     		x = 0.563385009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15327 ÷ 215
    15327 ÷ 32768     		y = 0.467742919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563385009765625 × 2 - 1) × π
    0.12677001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39825976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467742919921875 × 2 - 1) × π
    0.06451416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.202677211593597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39825976} λ = 0.39825976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.202677211593597))-π/2
    2×atan(1.22467709287247)-π/2
    2×0.886050011484722-π/2
    1.77210002296944-1.57079632675     		φ = 0.20130370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39825976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.818603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20130370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.533852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18461 KachelY 15327 0.39825976 0.20130370 22.818603 11.533852
    Oben rechts KachelX + 1 18462 KachelY 15327 0.39845151 0.20130370 22.829590 11.533852
    Unten links KachelX 18461 KachelY + 1 15328 0.39825976 0.20111582 22.818603 11.523088
    Unten rechts KachelX + 1 18462 KachelY + 1 15328 0.39845151 0.20111582 22.829590 11.523088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20130370-0.20111582) × R
    0.000187880000000001 × 6371000     		dl = 1196.98348000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20130370-0.20111582) × R
    0.000187880000000001 × 6371000     		dr = 1196.98348000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39825976-0.39845151) × cos(0.20130370) × R
    0.000191749999999991 × 0.979806739831084 × 6371000     		do = 1196.97037079213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39825976-0.39845151) × cos(0.20111582) × R
    0.000191749999999991 × 0.979844288556578 × 6371000     		du = 1197.01624178898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20130370)-sin(0.20111582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979806739831084-0.979844288556578)×R²
    abs(0.39845151-0.39825976)×3.75487254936635e-05×R²
    0.000191749999999991×3.75487254936635e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.75487254936635e-05×40589641000000     		ar = 1432781.21751503m²