Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18459 / 15358
↖ ↑ ↗
← N 11.199957°
E 22.796631°		 ← 1 198.31 m → N 11.199957°
E 22.807617°		 →
↑
1 198.39 m
↓
↑
1 198.39 m
↓
N 11.189179°
E 22.796631°		 ← 1 198.36 m →
1 436 065 m²		 N 11.189179°
E 22.807617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563339233398438 y=0.468704223632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563339233398438 × 215)
    floor (0.563339233398438 × 32768)
    floor (18459.5)     		tx = 18459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468704223632812 × 215)
    floor (0.468704223632812 × 32768)
    floor (15358.5)     		ty = 15358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18459 / 15358 ti = "15/18459/15358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18459/15358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18459 ÷ 215
    18459 ÷ 32768     		x = 0.563323974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15358 ÷ 215
    15358 ÷ 32768     		y = 0.46868896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563323974609375 × 2 - 1) × π
    0.12664794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39787627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46868896484375 × 2 - 1) × π
    0.0626220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.19673303604071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39787627} λ = 0.39787627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.19673303604071))-π/2
    2×atan(1.2174189903257)-π/2
    2×0.883136225122819-π/2
    1.76627245024564-1.57079632675     		φ = 0.19547612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39787627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.796631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19547612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.199957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18459 KachelY 15358 0.39787627 0.19547612 22.796631 11.199957
    Oben rechts KachelX + 1 18460 KachelY 15358 0.39806801 0.19547612 22.807617 11.199957
    Unten links KachelX 18459 KachelY + 1 15359 0.39787627 0.19528802 22.796631 11.189179
    Unten rechts KachelX + 1 18460 KachelY + 1 15359 0.39806801 0.19528802 22.807617 11.189179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19547612-0.19528802) × R
    0.000188099999999997 × 6371000     		dl = 1198.38509999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19547612-0.19528802) × R
    0.000188099999999997 × 6371000     		dr = 1198.38509999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39787627-0.39806801) × cos(0.19547612) × R
    0.000191740000000051 × 0.980955302233466 × 6371000     		do = 1198.31100304203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39787627-0.39806801) × cos(0.19528802) × R
    0.000191740000000051 × 0.980991820221289 × 6371000     		du = 1198.35561252273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19547612)-sin(0.19528802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980955302233466-0.980991820221289)×R²
    abs(0.39806801-0.39787627)×3.65179878235589e-05×R²
    0.000191740000000051×3.65179878235589e-05×6371000²
    0.000191740000000051×3.65179878235589e-05×40589641000000     		ar = 1436064.7851144m²