Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18458 / 34402
↖ ↑ ↗
← S  8.939340°
W 78.607178°		 ← 603.43 m → S  8.939340°
W 78.601684°		 →
↑
603.40 m
↓
↑
603.40 m
↓
S  8.944767°
W 78.607178°		 ← 603.42 m →
364 106 m²		 S  8.944767°
W 78.601684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281654357910156 y=0.524940490722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281654357910156 × 216)
    floor (0.281654357910156 × 65536)
    floor (18458.5)     		tx = 18458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524940490722656 × 216)
    floor (0.524940490722656 × 65536)
    floor (34402.5)     		ty = 34402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18458 / 34402 ti = "16/18458/34402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18458/34402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18458 ÷ 216
    18458 ÷ 65536     		x = 0.281646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34402 ÷ 216
    34402 ÷ 65536     		y = 0.524932861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.43670654296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.37195407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.04986572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.156657787958344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37195407} λ = -1.37195407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156657787958344))-π/2
    2×atan(0.854996598891178)-π/2
    2×0.707387704497468-π/2
    1.41477540899494-1.57079632675     		φ = -0.15602092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37195407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.607178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15602092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.939340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18458 KachelY 34402 -1.37195407 -0.15602092 -78.607178 -8.939340
    Oben rechts KachelX + 1 18459 KachelY 34402 -1.37185819 -0.15602092 -78.601684 -8.939340
    Unten links KachelX 18458 KachelY + 1 34403 -1.37195407 -0.15611563 -78.607178 -8.944767
    Unten rechts KachelX + 1 18459 KachelY + 1 34403 -1.37185819 -0.15611563 -78.601684 -8.944767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15602092--0.15611563) × R
    9.47099999999979e-05 × 6371000     		dl = 603.397409999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15602092--0.15611563) × R
    9.47099999999979e-05 × 6371000     		dr = 603.397409999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37195407--1.37185819) × cos(-0.15602092) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.987853406179529 × 6371000     		do = 603.431715187411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37195407--1.37185819) × cos(-0.15611563) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.987838684885316 × 6371000     		du = 603.422722663053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15602092)-sin(-0.15611563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987853406179529-0.987838684885316)×R²
    abs(-1.37185819--1.37195407)×1.47212942123165e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.47212942123165e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.47212942123165e-05×40589641000000     		ar = 364106.42129514m²