Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18458 / 22517
↖ ↑ ↗
← N 75.504721°
W129.303589°		 ← 76.45 m → N 75.504721°
W129.300842°		 →
↑
76.45 m
↓
↑
76.45 m
↓
N 75.504034°
W129.303589°		 ← 76.45 m →
5 845 m²		 N 75.504034°
W129.300842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140827178955078 y=0.171794891357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140827178955078 × 217)
    floor (0.140827178955078 × 131072)
    floor (18458.5)     		tx = 18458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171794891357422 × 217)
    floor (0.171794891357422 × 131072)
    floor (22517.5)     		ty = 22517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18458 / 22517 ti = "17/18458/22517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18458/22517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18458 ÷ 217
    18458 ÷ 131072     		x = 0.140823364257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22517 ÷ 217
    22517 ÷ 131072     		y = 0.171791076660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140823364257812 × 2 - 1) × π
    -0.718353271484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.25677336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171791076660156 × 2 - 1) × π
    0.656417846679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.0621974847552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25677336} λ = -2.25677336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0621974847552))-π/2
    2×atan(7.86323016710604)-π/2
    2×1.44430115818556-π/2
    2.88860231637112-1.57079632675     		φ = 1.31780599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25677336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.303589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31780599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.504721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18458 KachelY 22517 -2.25677336 1.31780599 -129.303589 75.504721
    Oben rechts KachelX + 1 18459 KachelY 22517 -2.25672542 1.31780599 -129.300842 75.504721
    Unten links KachelX 18458 KachelY + 1 22518 -2.25677336 1.31779399 -129.303589 75.504034
    Unten rechts KachelX + 1 18459 KachelY + 1 22518 -2.25672542 1.31779399 -129.300842 75.504034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31780599-1.31779399) × R
    1.2000000000123e-05 × 6371000     		dl = 76.4520000007838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31780599-1.31779399) × R
    1.2000000000123e-05 × 6371000     		dr = 76.4520000007838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25677336--2.25672542) × cos(1.31780599) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250300223245692 × 6371000     		do = 76.4481309069305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25677336--2.25672542) × cos(1.31779399) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250311841246905 × 6371000     		du = 76.4516793435484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31780599)-sin(1.31779399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250300223245692-0.250311841246905)×R²
    abs(-2.25672542--2.25677336)×1.16180012132983e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16180012132983e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16180012132983e-05×40589641000000     		ar = 5844.74814679199m²