Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18457 / 34401
↖ ↑ ↗
← S  8.933914°
W 78.612671°		 ← 603.38 m → S  8.933914°
W 78.607178°		 →
↑
603.40 m
↓
↑
603.40 m
↓
S  8.939340°
W 78.612671°		 ← 603.37 m →
364 074 m²		 S  8.939340°
W 78.607178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281639099121094 y=0.524925231933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281639099121094 × 216)
    floor (0.281639099121094 × 65536)
    floor (18457.5)     		tx = 18457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524925231933594 × 216)
    floor (0.524925231933594 × 65536)
    floor (34401.5)     		ty = 34401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18457 / 34401 ti = "16/18457/34401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18457/34401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18457 ÷ 216
    18457 ÷ 65536     		x = 0.281631469726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34401 ÷ 216
    34401 ÷ 65536     		y = 0.524917602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281631469726562 × 2 - 1) × π
    -0.436737060546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.37204994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524917602539062 × 2 - 1) × π
    -0.049835205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.156561914159103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37204994} λ = -1.37204994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156561914159103))-π/2
    2×atan(0.855078574593049)-π/2
    2×0.707435059479725-π/2
    1.41487011895945-1.57079632675     		φ = -0.15592621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37204994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.612671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15592621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.933914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18457 KachelY 34401 -1.37204994 -0.15592621 -78.612671 -8.933914
    Oben rechts KachelX + 1 18458 KachelY 34401 -1.37195407 -0.15592621 -78.607178 -8.933914
    Unten links KachelX 18457 KachelY + 1 34402 -1.37204994 -0.15602092 -78.612671 -8.939340
    Unten rechts KachelX + 1 18458 KachelY + 1 34402 -1.37195407 -0.15602092 -78.607178 -8.939340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15592621--0.15602092) × R
    9.47099999999979e-05 × 6371000     		dl = 603.397409999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15592621--0.15602092) × R
    9.47099999999979e-05 × 6371000     		dr = 603.397409999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37204994--1.37195407) × cos(-0.15592621) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987868118612712 × 6371000     		do = 603.37776522154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37204994--1.37195407) × cos(-0.15602092) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.987853406179529 × 6371000     		du = 603.368779047285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15592621)-sin(-0.15602092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987868118612712-0.987853406179529)×R²
    abs(-1.37195407--1.37204994)×1.47124331829618e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.47124331829618e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.47124331829618e-05×40589641000000     		ar = 364073.869941247m²